Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Lors de ces dernières années, nous avons beaucoup entendu parler de mutations, de vagues épidémiques, etc. Cependant, qu'est-ce que cela signifie ? Un individu comme les virus ou les bactéries se reproduisent de façon asexuées : un parent va copier son information génétique pour donner naissance à une copie de lui-même ... mais avec des erreurs de retranscription de l'information, ce qu'on appelle des mutations. Ces mutations permettent une évolution pouvant être assez complexe d'une population.

On s’intéresse au cadre général des modèles de Markov caché, c’est-à-dire un modèle où les données observées sont supposées être une variable aléatoire dont la distribution dépend d’un processus stochastique non observé, qui est supposée être markovien. On considère le cas générique où le processus caché est à valeurs réelles (en dimension quelconque), et sa densité de transition est potentiellement inconnue.

L’idée générale des méthodes d’inférence statistique

Au cours des deux dernières années, le COVID-19 et ses variants ont posé un risque accru pour la santé publique, incitant à étudier sa dynamique de transmission et à proposer une stratégie pour contrôler sa propagation. Nous proposons un modèle mathématique pour explorer la dynamique de transmission du COVID-19. Nous montrons l'existence, l'unicité et la positivité de la solution et nous estimons le nombre de reproductions de base (R0). Nous prouvons l'existence de l'équilibre sans maladie et de l'équilibre endémique.

Les courants de gravité sont présents dans de nombreux procédés industriels (évacuation des eaux usées, filtration de minerais, procédés alimentaires et pharmaceutiques) et écoulements naturels (transports de sédiments dans les rivières, avalanches). Ces écoulements stratifiés transportent fréquemment une phase solide en suspension qui contrˆole les propriétés moyennes de l’écoulement, comme la viscosité apparente, ce qui conduit à une dynamique riche dont l’optimisation/prédiction demeure un enjeu crucial environnemental et industriel.

L'inférence de graphes d'interactions entre les gènes est devenue un cas d'école pour la statistique en grande dimension, tandis que les modèles décrivant l'expression des gènes au niveau moléculaire ont pris tout leur sens avec l'arrivée des données de cellules uniques. Relier ces deux approches semble aujourd'hui crucial, mais le dialogue est loin d'être évident : les modèles statistiques sont souvent jugés trop simplistes voire irréalistes, et les modèles mécanistes sont réputés difficiles à calibrer à partir de données réelles.

In its simplest form, the eikonal equation reads |u' | = 1. The right notion of solution seems to be viscosity solutions, that are, in a sense, maximal. This remark opens on an analytical method of resolution very close to the spectral decomposition of linear operators, and highlights the deep connection between viscosity and control problems.

In the present work we propose a class of test statistics based on the family of weighted φ-divergences for general order Markov chains. A weight matrix treats the issue of the presence (or not) of prior information on the transitions of the system. That methodology could be adapted in the framework of homogeneity or goodness-of-fit for Markov chains. The appropriate asymptotic theory is presented according with Monte Carlo simulations for assessing the performance of the proposed test statistics.

Soit $\theta$ un nombre irrationnel. La translation $T : y \mapsto (y+\theta)  \mod 1$ de $[0,1[$ (muni de la loi uniforme) dans lui-même est ergodique. On s'intéresse à la transformation $[T,\mathrm{Id}]$ de $\{0,1\}^\mathbb{N} \times [0,1[$ dans lui-même définie par $$[T,\mathrm{Id}] \big( (x_n)_{n \ge 0},y \big) := \big( (x_{n+1})_{n \ge 0},T^{x_0}(y)\big).$$ Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est isomorphe à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive.