Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Stochastic differential equations (SDEs) in the sense of McKean are stochastic differential equations, whose coefficients do not only depend on time and on the position of the solution process, but also on its marginal laws. Often they constitute probabilistic representation of conservative PDEs, called Fokker-Planck equations.

A general question in ergodic theory or topological dynamical systems is for which subset S of Z there is a point whose orbit along S is dense in the whole space, or the time averages of a function along S converge to its integral. In this talk, I will explain how one can show that for a totally minimal system and S being the values of a given integer polynomial on Z, such x exists. This result was developed gradually in the works by Huang-Shao-Ye, Glasner-Huang-Shao-Weiss-Ye, and Qiu.

Dans cet exposé, nous présentons trois variantes de la méthode de Galerkine Discontinue Hybride (HDG) pour résoudre l'équation de Helmholtz convectée. Les méthodes HDG sont des méthodes DG mixtes qui sont construites autour d'une iconnue auxiliaire définie uniquement sur le squelette du maillage. Un procédé de condensation statique permet d'éliminer les degrés de libertés volumiques pour obtenir un problème global qui ne fait intervenir que cette inconnue auxiliaire.

Les semi-groupes de Markov quantiques (SMQ) sont une généralisation naturelle des semi-groupes de Markov classiques sur un espace des fonctions, qui est remplacé dans la théorie quantique par une algèbre d'opérateurs (généralement non commutative). De plus, ils proviennent des limites des systèmes quantiques en interaction avec des environnements externes.

Il est bien connu que pour une transformation ergodique en mesure infinie, les sommes de Birkhoff associées à une fonction intégrable tendent vers 0 presque partout. Pour autant, la convergence n’a pas lieu dans $L^1$. A contrario, la convergence a bien lieu dans  $L^p$, $1<p<+\infty$. Ce « défaut » de la norme $L^1$ en mesure infinie affecte un certain nombre de résultats classiques et nous proposons une norme alternative permettant de les « corriger ».

Depuis l'exemple historique publié par Helge von Koch en 1904, de nombreuses constructions d'ensembles fractals ont été proposées, à la fois dans un cadre théorique et à des fins de modélisation, allant des plus élémentaires aux plus sophistiquées, déterministes ou aléatoires. L'objet de cet exposé est de présenter une nouvelle famille de compacts du plan, obtenus comme limites croissantes de suites d'ensembles simples construits par superpositions successives de pavages du plan.

Contrairement à leurs pendants classiques, les piles à combustibles à oxyde solide (ou SOFC pour Solid Oxide Fuel Cell) possèdent un électrolyte qui n'est pas un liquide mais un solide chauffé à haute température afin de permettre le transit des ions oxygènes. Ce solide est le plus souvent une céramique réalisée en zircone stabilisée à l'yttrium ou bien en gadolinium dopé au cérium.

On s'intéresse aux modèles de mélanges non-paramétriques finis. On présente une méthode pour sélectionner le nombre de composantes ainsi que le sous-ensemble de variables discriminantes, c’est-à-dire le sous-ensemble de variables ayant des distributions différentes pour les composantes du mélange. L’approche proposée repose sur la discrétisation de chaque variable en B intervalles et sur une pénalisation de la log-vraisemblance qui en résulte.

Soit le modèle de complétion :

$Y_i =\langle U_i,M_{k,\tau}\rangle +\langle U_i,\epsilon\rangle +\xi_i$,

Dans cet exposé, on s’intéressera à des conditions projectives assurant la validité du théorème central limite dans le cadre de champs aléatoires stationnaires. On verra en particulier que la condition $L^1$ de Gordin, suffisante dans le cas des suites aléatoires, ne l’est plus dans le cadre des champs, et qu’une condition supplémentaire est alors nécessaire. Une application aux processus super-linéaires sera également envisagée.