Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

In the present work we propose a class of test statistics based on the family of weighted φ-divergences for general order Markov chains. A weight matrix treats the issue of the presence (or not) of prior information on the transitions of the system. That methodology could be adapted in the framework of homogeneity or goodness-of-fit for Markov chains. The appropriate asymptotic theory is presented according with Monte Carlo simulations for assessing the performance of the proposed test statistics.

Soit $\theta$ un nombre irrationnel. La translation $T : y \mapsto (y+\theta)  \mod 1$ de $[0,1[$ (muni de la loi uniforme) dans lui-même est ergodique. On s'intéresse à la transformation $[T,\mathrm{Id}]$ de $\{0,1\}^\mathbb{N} \times [0,1[$ dans lui-même définie par $$[T,\mathrm{Id}] \big( (x_n)_{n \ge 0},y \big) := \big( (x_{n+1})_{n \ge 0},T^{x_0}(y)\big).$$ Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est isomorphe à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive.

The aim of this talk is to show two topics in sub-Riemannian geometry. On the one hand, the local approximation of an almost-Riemannian structure at singular points, where the nilpotent approximation loses the original structure, and on the other hand, the kinematic system of a manifold rolling on another manifold without twisting or slipping, particularly a numerical implementation of the Continuation Method when a 2-dimensional manifold rolling on the Euclidean plane with forbidden regions.

Les graphes hyperboliques aléatoires ont été introduits par Krioukov et al. en 2010, dans le but de modéliser des réseaux complexes. Ces graphes sont construits dans le plan hyperbolique à partir d'un processus binomial, en reliant entre eux tous les points du processus, séparés d'une distance plus petite qu'un certain paramètre R. Les auteurs ont montré empiriquement que leur modèle permet par exemple de cartographier le réseau des routeurs internet.

On s'intéresse dans cet exposé au problème elliptique à donnée L1 avec conditions de Neumann. Dans la première partie, on introduira la notion de solutions renormalisées pour le problème, en suite on présentera le schéma V-F ainsi que les outils d'analyse discrète utilisés. On montrera que la solution approchée par un schéma de type volumes finis converge vers l'unique solution renormalisée à médiane nulle.

Let $P(x,A)$ be a transition probability on $(X,\Sigma)$ and let $m$ be a probability on $\Sigma$ invariant for $P$, i.e. $m(A) =\int P(x,A)dm(x)$ for every $A \in \Sigma$. The Markov operator $Pf(x):= \int f(y)P(x,dy)$ is well-defined for $f$ bounded measurable; invariance of $m$ yields that $f=g$ a.e. (m) implies $Pf=Pg$ a.e. and $P$ is an operator on $L_\infty(m)$ and extends to an operator on $L_1(m)$. It is then a contraction in all $L_p(m)$, $1\le p \le \infty$. We assume that $P$ is ergodic modulo $m$, i.e. $Pf=f \in L_2(m)$ implies $f$ is a constant a.e.