Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Obtaining macroscopic laws (e.g., Euler equation/ Heat equation) from interacting particle systems governed by microscopic laws (e.g., Newton/Schrödinger eq.) in proper scaling limits is a very challenging task and has received much attention in recent years. In this talk, I will present the first example (to the best of my knowledge), where one can do this task rigorously for a simple interacting quantum system without any apriori assumptions (CMP, 390, 349–423 (2022)).

The mathematical modelling of cancer has been increasingly applying fluid-dynamics concepts to describe the mechanical properties of tissue growth. The biomechanical pressure plays a central role in these models, both as the driving force of cell movement and as an inhibitor of cell proliferation. In this talk, I will present how it is possible to build a bridge between models that have different pressure-velocity or pressure-density relations.

Dans cet exposé, je présenterai la notion de problème inverse ainsi que différentes applications de ces problèmes. Je commencerai par définir cette notion, puis je donnerai quelques exemples en mentionnant les applications de ces résultats. Enfin, je vous présenterai plus en détails un de mes travaux, en collaboration avec Gunther Uhlmann, lié à une application des problèmes inverses à la tomographie photoacoustique qui est une modalité de l'imagerie biomédicale.

Dans le domaine des matrices aléatoires, l'universalité se manifeste par le phénomène où les observables (telles que les plus grandes valeurs propres ou le nombre de valeurs propres dans un intervalle) dépendent uniquement de la symétrie du modèle, et non de la distribution des entrées. Plusieurs résultats d'universalité ont été démontrés au cours des dernières décennies.

Colorions chaque case d’une grille infinie, en noir avec probabilité p, et en blanc avec probabilité 1-p, indépendamment pour différentes cases. La théorie de la percolation s'intéresse aux propriétés de connexité des configurations obtenues, et en particulier à la valeur du paramètre p à partir de laquelle on observe presque sûrement un amas infini de cases noires.

Un arbre couvrant d'un graphe connexe fini $G$ est un sous-graphe connexe de $G$ qui contient chaque sommet et ne contient aucun cycle. Un résultat bien connu d'Aldous énonce que la limite d'échelle de l'arbre couvrant uniforme du graphe complet est l'arbre brownien. En fait cet énoncé est plus général : l'arbre brownien est la limite d'échelle des arbres couvrants uniformes pour un grand ensemble de graphes en grande dimension.

L'objectif général de l'exposé est de décrire la dynamique de systèmes de particules en interaction sur un événement dynamique rare. Dans de nombreux modèles des résultats de grandes déviations sont disponibles et permettent d'estimer la probabilité d'un tel événement rare dans une limite d'échelle appropriée. L'objectif ici est de décrire les trajectoires dans cet événement rare. Je m'intéresserai plus précisément à la structure des fluctuations autour de trajectoires typiques, qui est particulièrement intéressante en présence de transitions de phase dynamiques. 

I will introduce certain class of infinite measure preserving dynamical systems, called skew products. In general, it is very difficult to study ergodic properties of such maps. One of the very few tools that we have, are so called essential values. After presenting this notion, I will focus on the main result that I obtained with Frank Trujillo, which says that for a typical symmetric interval exchange transformation, a skew product given by the indicator of the interval $(0,1/2)$ is ergodic.

Une suite auto-descriptive $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une concaténation infinie de puissances finies d'une lettre (généralement appelées blocs) $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $|w_n| = u_n$ où $|x|$ désigne la longueur du mot fini $x$.

On considère un arbre enraciné, dont les sommets sont interprétés comme des places de parking pouvant accueillir au plus une voiture. Sur chacun de ses sommets, arrivent des voitures qui cherchent à se garer. Chaque voiture essaie de se garer sur son sommet d’arrivée, et s’il est déjà occupé, elle se déplace en direction de la racine jusqu’à la première place disponible. Si elle ne trouve pas de place sur son chemin vers la racine, elle sort de l’arbre sans se garer et contribue au flux de voitures sortantes.