Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

The work deals with the problem of global parameter estimation of affine diffusions in R_+ × R^n denoted by AD(1, n) where n is a positive integer which is a subclass of affine diffusions introduced by Duffie et al. The AD(1, n) model can be applied to the pricing of bond and stock options, which is illustrated for the Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heston models. Our first result is about the classification of AD(1, n) processes according to the subcritical, critical and supercritical cases.

Recent work linking deep neural networks and dynamical systems opened up new avenues to analyze deep learning. In particular, it is observed that new insights can be obtained by recasting deep learning as an optimal control problem on differential equations. This presentation aims to give an introduction to the topic and to present some useful results on the explainability of deep learning using optimal control theory.

Lie symmetries are a powerful tool to search for continuous symmetry groups in a subset of a manifold. They have many applications in the study of differential equations and partial differential equations. We will use systematically Olver's approach to determine Lie symmetries of a pde that correspond to Longstaff-Shwartz model in finance.

Le modèle d'exclusion en contact faible avec des réservoirs, qui sera étudié lors de mon exposé, peut se décrire de la manière suivante:
- on place un nombre finis de réservoirs alignés à la suite,
- chaque réservoirs peut contenir au plus une particule,
- au cours du temps, les particules peuvent : changer de réservoirs, sortir de notre système ou entrer dans notre système.
Des contraintes probabilistes feront évoluer notre système au cours du temps.
L'étude de cette évolution sera le point central de l'exposé.

In the context of large samples, a small number of individuals can alter
basic statistical indicators such as the mean. It is difficult to automatically detect these
atypical individuals, and an alternative strategy is to use robust approaches. This work
focuses on the estimation of the geometric median of a random variable, which is a robust
indicator of location. In order to deal with large samples or sequentially arriving data,
online stochastic Newton algorithms for geometric median estimation are introduced and

Plusieurs applications industrielles nécessitent de décrire la dynamique de jets diphasiques. Nous retiendrons dans ce travail une principale: l’injection de carburant dans un moteur. Divers phénomènes d’instabilité conduisent à l’atomisation de la phase liquide dense dans la région proche injecteur pour former un brouillard de gouttelettes.

Le comportement en temps grand des solutions d'équations et systèmes de réaction-diffusion est généralement dicté par des solutions particulières de type front progressif. Ces fronts permettent entre autres de décrire des phénomènes d'invasion en dynamique des populations et en biologie. En général, l'existence de plusieurs états d'équilibre conduit à un profil de propagation multiple passant par plusieurs états transitoires intermédiaires avec des vitesses différentes.

Après une brève description des motivations physique concernant les phénomènes de turbulence quantique, j'exposerai les hypothèses et les limites introduites par la modélisation mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii dans le cas d'une géométrie annulaire. Je décrirais les différentes méthodes numériques utilisées pour le calcul de l'état fondamental, pour la simulation de la dynamique de l'équation, et pour le calcul des indices des vortex.

Dans cette présentation, j'introduirai le problème de contrôle optimal associé aux utilités dynamiques et établirai l'EDP stochastique de type HJB que doivent satisfaire de tels champs monotones et concaves. Les résultats existants dans la littérature étant insuffisants pour résoudre ce type d'équations non linéaires et posées forward dans le temps, je présenterai comment nous pouvons caractériser toutes les solutions par la méthode des caractéristiques stochastiques.