Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Cet exposé portera sur l'analyse d'équations de réaction-diffusion en domaines non bornés, s'articulant autour des concepts de survie et d'extinction de populations. Nous commencerons par dériver l'équation de la chaleur à partir de marches aléatoires à temps discrets, une méthode classiquement employée pour relier cette équation à la dispersion des individus dans un milieu. Après avoir discuté des propriétés fondamentales de la diffusion, nous introduirons différents termes de réaction pour modéliser la croissance et/ou la mortalité d'individus au cours du temps.

Abstract : fichier pdf

If we take a uniformly random lattice polygon in the square $[0,n]^2$, Bárány, Vershik and Sinai proved that the renormalized polygon converges towards a limit shape. We study the fluctuations of a random lattice polygon around that limit shape. After establishing a central limit theorem of finite-dimensional marginals of the boundary point of a lattice zonotope in any dimension, we proved a Donsker-type theorem for the boundary fluctuations, which involves a 2-dimensional Brownian bridge and a drift term that we identify as a random cubic curve.

Travail en cours avec Nassim Bourarach, Victor Panaretos, Franck Picard et Vincent Rivoirard.

L’ACP fonctionnelle, en tant que méthode de visualisation, consiste à représenter des données fonctionnelles, c’est-à-dire des données qui se présentent sous forme de courbes, dans un espace de faible dimension. Cet espace de faible dimension est obtenu en diagonalisant l’opérateur de covariance associé aux données.

The work deals with the problem of global parameter estimation of affine diffusions in R_+ × R^n denoted by AD(1, n) where n is a positive integer which is a subclass of affine diffusions introduced by Duffie et al. The AD(1, n) model can be applied to the pricing of bond and stock options, which is illustrated for the Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heston models. Our first result is about the classification of AD(1, n) processes according to the subcritical, critical and supercritical cases.

Recent work linking deep neural networks and dynamical systems opened up new avenues to analyze deep learning. In particular, it is observed that new insights can be obtained by recasting deep learning as an optimal control problem on differential equations. This presentation aims to give an introduction to the topic and to present some useful results on the explainability of deep learning using optimal control theory.

Lie symmetries are a powerful tool to search for continuous symmetry groups in a subset of a manifold. They have many applications in the study of differential equations and partial differential equations. We will use systematically Olver's approach to determine Lie symmetries of a pde that correspond to Longstaff-Shwartz model in finance.

Le modèle d'exclusion en contact faible avec des réservoirs, qui sera étudié lors de mon exposé, peut se décrire de la manière suivante:
- on place un nombre finis de réservoirs alignés à la suite,
- chaque réservoirs peut contenir au plus une particule,
- au cours du temps, les particules peuvent : changer de réservoirs, sortir de notre système ou entrer dans notre système.
Des contraintes probabilistes feront évoluer notre système au cours du temps.
L'étude de cette évolution sera le point central de l'exposé.

In the context of large samples, a small number of individuals can alter
basic statistical indicators such as the mean. It is difficult to automatically detect these
atypical individuals, and an alternative strategy is to use robust approaches. This work
focuses on the estimation of the geometric median of a random variable, which is a robust
indicator of location. In order to deal with large samples or sequentially arriving data,
online stochastic Newton algorithms for geometric median estimation are introduced and

Plusieurs applications industrielles nécessitent de décrire la dynamique de jets diphasiques. Nous retiendrons dans ce travail une principale: l’injection de carburant dans un moteur. Divers phénomènes d’instabilité conduisent à l’atomisation de la phase liquide dense dans la région proche injecteur pour former un brouillard de gouttelettes.