Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Firstly, I will explain my thesis topic and the motivations driving us to study this problem. Secondly, I will describe how we approached this problem.
My thesis aims to investigate exceptional point configurations in a Boolean model in different settings. More precisely, in a homogeneous Poisson process in which two points are connected if they are at a distance less than or equal to a fixed real number, we examine the connected components from both a probabilistic perspective (probability of having a cluster of k points) and a geometric perspective (given the realization of a cluster of k points, is there a preferential shape for this cluster). My thesis topic deals with these questions when the intensity of the process converges to 0 in a Euclidean framework and simultaneously in a hyperbolic framework when the intensity explodes. The motivations behind choosing these frameworks will become apparent in the applications and when we discuss the works of K. Alexander.
Regarding the approach to this problem, we will see how the knowledge of a limiting shape helps for solving  the probabilistic questions.

Dans un premier temps, je vous expliquerai mon sujet de thèse ainsi que les motivations qui nous poussent à étudier ce problème. Dans un second temps, je vous raconterai comment nous avons attaqué ce problème.
L'objectif de mon sujet de thèse est d'étudier dans un modèle booléen des configurations de points exceptionnelles dans différents cadres.  Plus précisément, dans un processus de Poisson homogène dans lequel deux points sont connectés s’ils sont à une distance inférieure ou égale à un réel fixé, nous examinons les composantes connexes d’un point de vue probabiliste (probabilité d’avoir un cluster de k points) et géométrique (conditionnellement à la réalisation d’un cluster de k points, y a-t-il une forme privilégiée pour ce cluster). Mon sujet de thèse porte à la fois sur ces questions lorsque l’intensité du processus converge vers 0 dans un cadre euclidien et dans un cadre hyperbolique lorsque l’intensité explose. Les motivations du choix de ces cadres se révèleront dans les applications mais aussi lorsque nous évoquerons des travaux de K. Alexander.
Concernant l’angle d’attaque de ce problème, nous verrons comment la connaissance d’une forme limite nourrit nos questions probabilistes.