Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

This talk presents a numerical analysis for quantitative photoacoustic tomography, aiming to reconstruct optical coefficients (diffusion and absorption) using internal data.  Our approach solves an inverse diffusivity problem and an elliptic direct problem. The stability of the inverse problem significantly depends on a non-zero condition in the internal observations, a condition that can be met using randomly chosen boundary excitation data.

Résumé : Un certain type de processus de Markov en dents de scie, appelé processus "shot noise" extrémal (ESN), est étudié. Ce processus généralise les processus extrémaux en y incorporant un mécanisme de dérive. Après avoir introduit ces processus et énoncé certaines propriétés fondamentales de leur semi-groupe et de leur générateur infinitésimal, je caractériserai leurs temps de premier passage en dessous d’un niveau donné, ainsi que leur temps local en 0 lorsque la frontière 0 est accessible.

Résumé : Le théorème de Foias et Stratila est un théorème remarquable qui indique que, sous une hypothèse d’ergodicité, certaines fonctions de covariance de processus stationnaires ne peuvent être réalisées que par des processus Gaussiens. Nous généraliserons ce phénomène à des groupes polonais quelconques et les fonctions de covariances seront alors des représentations unitaires. Puis nous montrerons que la représentation canonique du groupe orthogonal d’un espace de Hilbert séparable de dimension infinie a cette propriété de « Foias et Stratila ».

Abstract : We consider a Galton–Watson tree in which each node is independently marked, with a probability that depends on its number of offspring. We give a complete picture of the local convergence of critical or subcritical marked Galton–Watson trees, conditioned on having a large number of marks. In certain cases, the limit is a randomly marked tree with an infinite spine, known as the marked Kesten tree. In other cases, the local limit is a randomly marked tree with a node having infinitely many children.

Résumé : La chaîne de Toda a été introduite par Morikazu Toda en 1967 comme analogue discret de l'équation de KdV et comme modèle d'un cristal non linéaire. C'est un système intégrable classique qui admet des solutions solitoniques. Sa mécanique statistique est particulièrement riche grâce aux fortes interactions entres les particules. Dans le cadre d'un travail conjoint avec T. Grava, A. Guionnet, A. Its et K. Kozlowski, nous prouvons un principe de grandes déviations pour la chaîne de Toda périodique sous une mesure de Gibbsgénéralisée.

Résumé : 
La percolation FK est une variante de la percolation classique, dans laquelle en plus du poids \(p\) sur les arêtes, on ajoute un poids $q$ sur les clusters.
Lorsque $q<1$, l'invalidité de l'inégalité FKG complique l'étude de la transition de phase. Par exemple, sur le réseau carré pour $q<1$, on sait que le modèle est sous-critique (resp. surcritique) seulement si $p \leq q/(1+q)$ (resp. $p \geq 1/2$). Ces bornes viennent d'un encadrement du modèle par des percolations de Bernoulli.

Résumé :  Nous considérons une classe d’équations différentielles stochastiques (EDS) réfléchies dans des domaines dépendant du temps, non réguliers, dont les sections temporelles sont convexes. Nous démontrons l’existence et l’unicité de la solution. La solution est  la limite d'une approximation de ces équations à l’aide d’une suite de diffusions classiques.

Résumé : Le modèle "Solid on Solid" (SOS) est un modèle naturel de fonction aléatoire de \(Z^2\) dans \(Z\), étudié depuis les années 1940 pour modéliser par exemple les interfaces du modèle d'Ising en dimension 3. Dans le cas de condition au bord 0, le modèle a une transition de phase : il est localisé à basse température et devient délocalisé au dessus d'une température critique. Dans cet exposé, je parlerai du cas où les conditions au bord sont penchées, correspondant à une interface non alignée avec le réseau sous-jacent.

Asymptotic expansions of the solution to an elliptic PDE in the presence of inclusions of small size
have found succesfull applications in inverse problems, in particular for the detection of inhomogeneities.
In this talk, we consider situations where the perturbations are not caused by internal inhomogeneities,
but take place on the boundary. Building up on previous work, we assume that a homogeneous Dirichlet or
Neumann boundary condition is replaced by a Robin condition on a small subset $\omega_\varepsilon$ of
the domain boundary.

La simulation numérique de problèmes de propagation d'ondes souffre de l'erreur de dispersion caractérisée 
par le fait que les ondes numériques oscillent à une fréquence différente des ondes continues. Cette erreur 
de dispersion est responsable de l'effet de pollution impliquant que le nombre de points de discrétisation
doit énormément augmenter avec la fréquence afin d'assurer une erreur faible, ce qui rend le coût des calculs
prohibitif.