Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

In this talk, we  study  the probabilistic behavior of particular trajectories (finite or periodic) of a  given dynamical system.
For these particular trajectories, ergodic theorems  do  not apply, 
and we  explain the main principles  of  the Dynamical Analysis Method, in the case of the Gauss map.
In this case, finite trajectories  coincide with rational trajectories, and  thus executions of the Euclid algorithm.  

À partir d’un espace mesuré $(X,m)$ on construit de manière canonique le processus de Poisson sur $X$ d’intensité $m$. C’est l’objet probabiliste qui considère des configurations aléatoires de points et dont la loi satisfait aux conditions suivantes : si $A$ et $B$ sont des sous-ensembles disjoints de $X$, les nombres de points tombant dans $A$ et $B$ sont indépendants et suivent la loi de Poisson de paramètre $m(A)$ et $m(B)$ respectivement.

Le TCL et son principe d'invariance (ainsi que des versions quenched) ont été récemment obtenus par Dalibor Volný (et Magda Peligrad pour le quenched) pour des orthomartingales (associée à des filtrations «commutantes»).

Dans cet exposé je présenterai le système des Equations Primitives (aussi appelé Système Primitif) ainsi que le petit paramètre qui modélise la forte influence de la rotation de la Terre et de la stratification verticale de la densité. On s'intéresse aux asymptotiques lorsque ce paramètre tend vers zéro. On montrera que lorsque le paramètre est suffisamment petit, les solutions sont globales (et ce même pour de très grandes données initiales) et on étudiera le système limite ainsi que la vitesse de convergence.

Local limit theorems, like the famous deMoivre-Laplace theorem, have inspired similar results for ergodic sums $S_nf=\sum_{0\le i<n} f\circ T^i$ in dynamical systems $T:X\to X$ and for measurable functions $f:X\to\mathbb R$.
The talk will provide exact formulations of such results and discuss applications to Fuchsian groups, continued fractions and local times for fractal Gaussian noise.

We present several parameter estimation problems dealing with situations when the model depends on the unknown parameter in a non-regular way. The problems correspond to observations of different natures, but all have the same type of singularity: a cusp. We will see that all the considered models give rise to the same limiting likelihood ratio process.

A weighted Shiryaev-Roberts change detection procedure is shown to approximately minimize the

expected delay to detection as well as higher moments of the detection delay among all

change-point detection procedures with the given low maximal local probability of a false alarm