Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

We consider several models of diffusion processes with periodic in time trend coefficients and we describe the properties of the MLE and Bayes estimators of the frequency in the asymptotics of large samples and small noise. We start with the Signal in White Gaussian Noise model.

We consider a jump-type Cox–Ingersoll–Ross (CIR) process driven by a standard
Wiener process and a subordinator, and we study asymptotic properties of the maximum
likelihood estimator (MLE) for its growth rate. We distinguish three cases: subcritical, critical
and supercritical. In the subcritical case we prove weak consistency and asymptotic normality,
and, under an additional moment assumption, strong consistency as well. In the supercritical

This presentation addresses the problem of transient change detection. It is assumed that the duration of a transient change is usually short. In contrast to the conventional abrupt change detection, where the post-change period is assumed to be infinitely long, the detection of a transient change should be done before it disappears. The alert about the transient changes after their disappearance is considered as a missed detection.

We propose a sequential technique for the local polynomial estimation problem. We present our results in a context of data streams, for which we provide an asymptotic bias-variance decomposition of the considered estimator. Additionally, we study the asymptotic normality of the estimator and we provide algorithms for the practical use of the method in data streams framework.

Dans ce travail on cherche tout d’abord à étendre les résultats de J.F. Le Gall (1984) sur les Equations Différentielles Stochastiques avec Temps Local (EDSTL), au cas où tous les coefficients qui apparaissent dans l’EDSTL dépendent du temps. Nous obtenons des résultats d’existence et d’unicité pour les solutions de l’EDSTL dans ce contexte inhomogène en temps. Dans un second temps nous nous penchons sur la question des opérateurs paraboliques naturellement associés au processus $X$ solution de l’EDSTL étudiée.

Dans un premier temps nous verrons comment une méthode usuelle de clustering permet, sur un jeu de données réelles, de contribuer au débat en écologie entre taxonomistes traditionnels et tenants des codes-barres génétiques. Nous présenterons ensuite une nouvelle méthode de clustering fondée sur des algorithmes de type MCMC pour des processus ponctuels marqués. Le cas de la grande dimension sera discuté.

Dans le cadre des big-data, nous sommes très souvent amenés à traiter un ensemble volumineux de données. Dans la première partie, nous utilisons des algorithmes stochastiques, afin de construire des estimateurs récursifs. L’intérêt majeur de ces approches récursives est qu’elles permettent une mise à jour rapide des estimateurs lorsque les données sont observées de manière séquentielle sans être obligé de stocker en mémoire toutes les observations passées.