Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

À partir d’un espace mesuré $(X,m)$ on construit de manière canonique le processus de Poisson sur $X$ d’intensité $m$. C’est l’objet probabiliste qui considère des configurations aléatoires de points et dont la loi satisfait aux conditions suivantes : si $A$ et $B$ sont des sous-ensembles disjoints de $X$, les nombres de points tombant dans $A$ et $B$ sont indépendants et suivent la loi de Poisson de paramètre $m(A)$ et $m(B)$ respectivement.

Dès qu’une transformation $T$ est donnée sur $X$, une transformation $T_*$ est naturellement disponible sur l’espace du processus de Poisson : elle transforme une configuration de points en renvoyant la configuration des images par $T$ de chaque point. Munie d’une telle dynamique, le processus de Poisson prend le nom de suspension de Poisson.
Le cas « classique » s’occupe de la situation où $T$ préserve la mesure. Dans ce cas, il est facile de voir que $T_*$ préserve la loi du processus de Poisson.
Je me propose d’exposer ici les balbutiements du cas où la mesure $m$ n’est plus préservée par $T$ mais seulement équivalente après l’action de $T$ (on parle alors de transformation non-singulière). Nous verrons qu’il faut alors imposer certaines restrictions sur la dérivée de Radon-Nikodym pour qu’il en soit de même pour la suspension de Poisson. Mais ces contraintes apportent en contrepartie des objets nouveaux et révèlent une structure très riche que nous tenterons d’éclairer.
Nous donnerons notamment une caractérisation des groupes ayant la propriété (T) de Kazhdan à partir des suspensions de Poisson.

Travail en collaboration avec Alexandre Danilenko et Zemer Kosloff.