Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

The aim of this talk is to present the general ideas behind the concept of quantum computing, from its basic principles to the recent achievement of quantum supremacy. The presentation will be organized into two parts:

I plan to present some basic properties of the billiard flow on nibbled ellipses. The boundary of a
nibbled ellipse consists of a chain of elliptic and hyperbolic arcs, all coming from confocal conics. The
main aim of the talk is to present some steps and tools in the proof of equidistribution of billiard orbits
for almost all invariant sets determined by caustics of the billiard.

On aborde classiquement l'analyse en moyenne d'algorithmes en s'intéressant à la complexité mesurée en nombre de comparaisons. On a alors des résultats de complexité du type « tel algorithme est en $O(n \log n)$ en moyenne » (par exemple Quicksort pour citer un des plus connus).

Le processus de Dépoissonisation est central en analyse probabiliste des  structures combinatoires et des algorithmes.
Il est souvent beaucoup plus facile d’effectuer les analyses dans le modèle de Poisson (où la taille des données suit une loi de Poisson),
mais on désire revenir ensuite dans le modèle usuel  où la taille des données est fixée (puis tend vers l’infini). Ce «  retour »  est appelé dépoissonisation. 

Le but de mon exposé est de présenter quelques aspects de l'analyse que nous avons faite avec Andrew Comech sur la stabilité des ondes solitaires d'une équation de Dirac non linéaire : le modèle de Soler. Notre travail s'est principalement concentré sur la question de la stabilité linéaire. Les résultats que nous avons obtenus laisse espérer que le modèle est asymptotiquement stable.

Dans cet exposé, j'évoquerai les lois de Fick et Maxwell-Stefan pour la diffusion gazeuse, puis présenterai la dérivation du second modèle en me plaçant dans l'asymptotique diffusive de l'équation de Boltzmann.

The Continued Logarithm Algorithm –CL for short– introduced by Gosper in 1978 computes the gcd of two integers; it is seemingly very efficient, as it only performs shifts and subtractions. Shallit has studied its worst-case complexity in 2016 and showed it to be linear. In this talk I present our average-case analysis of the algorithm: we study its main parameters (number of iterations, total number of shifts) and obtain precise asymptotics for their mean values.

Abstract. We present some background and also recent advances due to J. Bourgain, K. Ford, S. Konyagin and the speaker.
These new results are based on a combination of various techniques including the distribution of smooth numbers, distribution of elements of multiplicative subgroups of residue rings, bound of Heilbronn exponential sums and a large sieve inequality with square moduli. These techniques will be briefly explained as well.