GdTProbaTESD20190513

Bernoullicité de $[T,Id]$ quand $T$ est une rotation irrationnelle : à la recherche d'une preuve constructive

Lundi 13 mai 2019, 11:00 à 12:00

Salle de séminaire M.0.1.

Christophe Leuridan

(Institut Fourier, Grenoble)

Soit $\theta$ un nombre irrationnel. La translation $T$ de $\theta$ sur le tore $\mathbb T$ muni de la mesure de Haar est ergodique. On s'intéresse à la transformation $[T,Id]$ de $\{0,1\}^{\mathbb N}\times \mathbb T$ dans lui-même définie par $$ [T,Id] ((x_n)_{n\ge 0},y) := ((x_{n+1})_{n\ge0},T^{x_0}y. $$ Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est équivalente à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive. Une preuve constructive avait été donnée auparavant par Parry, dans le cas où $\theta$ s'approche extrêmement bien par les nombres rationnels, plus précisément lorsqu'on peut trouver une suite de fractions $p/q$ avec $p$ et $q$ entiers telle que $$ 4^{q^2} q^4 |\theta-p/q| \longrightarrow 0.$$ En améliorant la méthode de Parry, nous affaiblissons cette condition diophantienne en $$ q^4 |\theta-p/q| \longrightarrow 0.$$