Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Les problèmes inverses se retrouvent dans de nombreuses applications très diverses. L'objectif est de reconstruire une source à l'intérieur d'un domaine à partir de données mesurées sur le bord de ce domaine. Dans cet exposé, je présenterai deux problèmes inverses : l'un en imagerie médicale et l'autre en volcanologie. Pour chacun de ces problèmes, une méthode numérique de frontière immergée est proposée. Pourquoi une méthode de frontière immergée ? Parce que, dans ces deux cas, nous faisons face à des problèmes avec une géométrie mobile, ce qui nécessite des étapes de remaillage très coûteuses numériquement si l'on utilise des méthodes classiques avec des maillages adaptés. C'est pourquoi nous optons pour une méthode de frontière immergée, qui permet une implémentation implicite de la frontière du domaine, évitant ainsi complètement les étapes de remaillage dans le cas de problèmes à géométrie mobile.

Le problème en imagerie médicale est intitulé "Tomographie par impédance électrique", où l'objectif est de reconstruire la conductivité dans le volume d'un domaine à partir de mesures effectuées sur le torse à l'aide d'une ceinture d'électrodes. Pour ce problème, nous proposons une méthode de frontière immergée par différences finies. Nous discuterons de la convergence de cette méthode, ainsi que des premières études d'analyse de sensibilité menées actuellement pour le problème direct.

Le problème en volcanologie vise à reconstruire la traction sur les sources (des fractures à l'intérieur du volcan), sachant le champ de déplacement à la surface de la Terre. Pour ce problème, nous présenterons d'abord l'état de l'art, puis les premières étapes vers une implémentation d'une méthode de frontière immergée.