Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Les processus de Galton-Watson forment une classe de modèles probabilistes d'évolution de populations. Dans leur variante la plus simple, une population étant donnée, le nombre de descendants de chaque individu est aléatoire et indépendant des autres individus. Ce modèle élémentaire admet de très nombreux raffinements, par exemple les processus de Galton-Watson en environnement aléatoire ; la loi du nombre de descendants dépend alors d'un environnement, dont l'évolution est donnée par une suite stationnaire de variables aléatoires.

Ces modèles ont été extensivement étudiés d'un point de vue probabiliste (environnements i.i.d., markoviens...). Nous adoptons un point de vue plus dynamique : la dynamique correspondant à l'évolution de l'environnement étant fixée, nous pouvons alors considérer l'ensemble des mesures stationnaires sur l'environnement, ce qui permet par exemple d'utiliser le formalisme thermodynamique. Nous mettons ainsi en évidence trois régimes : un régime sous-critique, d'extinction presque sûre de la population pour tout environnement ; un régime sur-critique, de probabilité de survie strictement positive pour tout environnement, et lié à un travail de S. Alili et H.H. Rugh ; et enfin un régime intermédiaire, correspondant à une bifurcation de type col-nœud et faisant apparaître des bassins d'attraction entremêlés, lié à des travaux de T.H. Jaeger et G. Keller.