Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Threshold diffusions are regime-switching continuous-time models where the model switches between two or more different model behaviors as the state variable cross certain domains.  We consider the statistical estimation on the switching threshold value for a discretely observed one-dimensional diffusion process.

We introduce a parametrised family of maps $\{S_{\eta}\}_{\eta \in [1,2]}$, called symmetric doubling maps, defined on $[-1,1]$ by $S_\eta (x)=2x-d\eta$, where $d\in \{-1,0,1 \}$. Each map $S_\eta$ generates binary expansions with digits $-1$, 0 and 1. We study the frequency of the digit 0 in typical expansions as a function of the parameter $\eta$. The transformations $S_\eta$ have a natural ergodic invariant measure $\mu_\eta$ that is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure.

In this talk, we  study  the probabilistic behavior of particular trajectories (finite or periodic) of a  given dynamical system.
For these particular trajectories, ergodic theorems  do  not apply, 
and we  explain the main principles  of  the Dynamical Analysis Method, in the case of the Gauss map.
In this case, finite trajectories  coincide with rational trajectories, and  thus executions of the Euclid algorithm.  

À partir d’un espace mesuré $(X,m)$ on construit de manière canonique le processus de Poisson sur $X$ d’intensité $m$. C’est l’objet probabiliste qui considère des configurations aléatoires de points et dont la loi satisfait aux conditions suivantes : si $A$ et $B$ sont des sous-ensembles disjoints de $X$, les nombres de points tombant dans $A$ et $B$ sont indépendants et suivent la loi de Poisson de paramètre $m(A)$ et $m(B)$ respectivement.

Le TCL et son principe d'invariance (ainsi que des versions quenched) ont été récemment obtenus par Dalibor Volný (et Magda Peligrad pour le quenched) pour des orthomartingales (associée à des filtrations «commutantes»).

Dans cet exposé je présenterai le système des Equations Primitives (aussi appelé Système Primitif) ainsi que le petit paramètre qui modélise la forte influence de la rotation de la Terre et de la stratification verticale de la densité. On s'intéresse aux asymptotiques lorsque ce paramètre tend vers zéro. On montrera que lorsque le paramètre est suffisamment petit, les solutions sont globales (et ce même pour de très grandes données initiales) et on étudiera le système limite ainsi que la vitesse de convergence.