Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

We consider a portfolio optimization problem  for financial markets described by exponential Levy processes with jumps. For this problem we obtain and study the Hamilton-Jacobi-Bellman equation which is an integral and partial differential equation of the second order. For this problem we show the corresponding verification theorem and construct the optimal  consumption/investment strategies. For the power utility function we find the optimal strategies in the explicit form.

We study a high dimension semimartingale regression model observed in the discrete time moments in a nonparametric setting. Improved (shrinkage) estimation methods are developed and the non-asymptotic comparison between shrinkage and least squares estimates is studied. Then, a model selection method based on these estimates is developed. Non-asymptotic sharp oracle inequalities for the constructed model selection procedure are obtained.

Dependence measures based on reproducing kernel Hilbert spaces, also known as Hilbert-Schmidt Independence Criterion and denoted HSIC, are widely used to statistically decide whether or not two random vectors are dependent. Recently, non-parametric HSIC-based statistical tests of independence have been performed. However, these tests lead to the question of the choice of the kernels associated to the HSIC. In particular, there is as yet no method to objectively select specific kernels with theoretical guarantees in terms of first and second kind errors.

Depuis les premiers travaux de C. Peskin en 1971 [1], les méthodes de frontières immergées sont devenues un domaine de recherche populaire et actif car proposent un moyen très attrayant pour gérer l’imposition de conditions de bords quand des géométries complexes et/ou des interfaces mobiles sont misent en jeu [2]. En effet, comme elles ne nécessitent pas la discrétisation explicite de la géométrie sur le maillage, elles permettent de limiter les temps passer dans la génération de maillage et procédures de remaillage dans le cadre de grandes déformations.

Dans ce travail en collaboration avec Mikael Falconnet et Nina Gantert, nous définissons des systèmes à une infinité de particules sur des configurations sur $\mathbb{Z}$ (à valeurs dans un alphabet fini) comme la superposition de 2 dynamiques: un processus de substitutions à portée finie sur l'alphabet fini, et un processus de  permutations circulaires à portée non nécessairement finie (appelé “cut-and-paste”).

Après avoir introduit les U-statistiques à deux échantillons, nous présenterons
une version empirique de ces dernières. Ceci permet de détecter un potentiel changement de loi
dans un échantillon. Nous allons donner des conditions suffisantes pour la convergence
des U-statistiques à deux échantillons dans un espace fonctionnel approprié ainsi qu'une description du processus limite.
Il s'agit d'un travail réalisé en collaboration avec Herold Dehling (Ruhr-Universität Bochum) et Olimjon Sharipov (National University of Uzbekistan).

Dans ce travail en collaboration avec Mikael Falconnet et Nina Gantert, nous définissons des systèmes à une infinité de particules sur des configurations sur $\mathbb{Z}$ (à valeurs dans un alphabet fini) comme la superposition de 2 dynamiques: un processus de substitutions à portée finie sur l'alphabet fini, et un processus de  permutations circulaires à portée non nécessairement finie (appelé “cut-and-paste”).

On considère l'équation d'Helmholtz, qui modélise la propagation d'une onde présentant un comportement périodique en temps. On s'intéresse en particulier au régime "haute fréquence", c'est à dire lorsque la longueur d'onde est petite devant la taille du domaine de propagation. On propose une iscrétisation du problème par méthode d'éléments finis de Lagrange d'ordre (possiblement) élevé. A haute fréquence, le problème considéré n'est pas "coercif", ce qui complique l'analyse de convergence, et contraint fortement le maillage dans la pratique.