Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

On considère l'équation d'Helmholtz, qui modélise la propagation d'une onde présentant un comportement périodique en temps. On s'intéresse en particulier au régime "haute fréquence", c'est à dire lorsque la longueur d'onde est petite devant la taille du domaine de propagation. On propose une iscrétisation du problème par méthode d'éléments finis de Lagrange d'ordre (possiblement) élevé. A haute fréquence, le problème considéré n'est pas "coercif", ce qui complique l'analyse de convergence, et contraint fortement le maillage dans la pratique.

On considérera d'abord le régime "basse fréquence", dans lequel le problème considéré est coercif. C'est un bon prétexte pour (ré)introduire des notions de base liées à l'analyse de méthode d'éléments finis. On montrera en particulier que la solution discrète est "quasi-optimale", et qu'il est intéressant d'employer une méthode d'ordre élevé si la solution du problème est régulière.

La seconde partie de l'exposé portera sur le régime haute fréquence, où la propriété de coercivité est perdue. On verra que dans ce cas, la stabilité des méthodes d'éléments finis n'est pas garantie. Plus précisément, des conditions de raffinement doivent être imposées sur le maillage pour assurer la quasi-optimalité de la solution discrète. On montrera que dans ce contexte, les méthodes d'ordre élevé sont plus stables. Plus précisément, les méthodes d'ordre élevé nécessitent moins de degrés de liberté par longueur d'onde, même si la solution du problème est très peu régulière.

On présentera des exemples numériques qui illustrent la théorie et montrent l'intérêt des méthodes d'ordre élevé pour les problèmes haute fréquence. Enfin, on discutera la généralisation des résultats présentés à des modèles plus complexes avant de conclure.