Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Exact inference for hidden Markov models requires the evaluation of all distributions of interest - filtering, prediction, smoothing and likelihood - with a finite computationaleffort. We present sufficient conditions for exact inference for a class of hidden Markov models on general state spaces given a set of discretely collected indirect observations linked non linearly to the signal, and a set of practical algorithms for inference.

Modéliser fidèlement des systèmes complexes requiert souvent d'abandonner l'hypothèse de données indépendantes: des outils théoriques doivent être disponibles pour étudier rigoureusement de tels modèles. Si plusieurs résultats de concentration classiques (comme l'inégalité de Bernstein ou de McDiarmid) ont été étendus à un cadre dépendant, les travaux relatifs aux U-statistiques sans hypothèse d'indépendance se limitent quasi-exclusivement à une analyse asymptotique.

En 1994, Peter Hall et Prakash Patil ont défini une large classe d'estimateurs récursifs à noyau de la densité contenant, notamment, l'estimateur de Wolverton-Wagner (1969), l'estimateur de Deheuvels (1973) ou encore l'estimateur d'Amiri (2010). Dans cet exposé, on se propose d'étudier une classe d'estimateurs récursifs à noyau de la régression construite à partir de l'estimateur de Hall-Patil. Notre résultat principal fournit des conditions suffisantes pour obtenir la normalité asymptotique de cet estimateur pour des données spatiales dépendantes.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l'étude des estimateurs à noyau dans le cadre de l'estimation non paramétrique. Nous aborderons plus particulièrement l'estimation de la densité au travers de l'estimateur de Parzen-Rosenblatt (1956-1962) et l'estimation de la régression au travers de l'estimateur de Nadaraya-Watson (1964). Avec l’avènement de l'informatique, la quantité de données entrant en jeu dans ces estimations devient telle qu'elle pose des problèmes en terme de temps de traitement et de coût de calcul.

Dans la continuité du résultat de décomposition démontré lors de la séance précédente, on verra comment le modifier pour obtenir un contrôle plus quantitatif de cette décomposition (Theorem 7.1 dans l'article d'Austin).

L'enregistrement vidéo de cette séance est disponible ici.

We consider the solution $X = (X_t)_{t\geq 0}$ of a multivariate stochastic differential equation with Levy-type jumps and with unique invariant probability measure with density $\pi$. We assume that a continuous record of observations $X_T=(X_t )_{0\leq t\leq T}$ is available.

Grâce à une itération de l'argument de décrément qu'on a démontré lors de la séance précédente, on pourra prouver un premier théorème de décomposition (Thm 6.1 dans l'article d'Austin).

L'enregistrement vidéo de cette séance est disponible ici.

On verra et démontrera l'argument de «décrément» d'Austin qui constitue
l'élément central du résultat de décomposition.

L'enregistrement vidéo de cette séance est disponible ici.

Suite de la séance du 30 novembre.

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