Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Dans cette seconde séance, nous allons décrire plus précisément les techniques permettant d'obtenir les résultats de valeurs extrêmes en nous concentrant sur le cas de l'aire maximale d'une facette. Nous verrons en particulier qu'il est possible de se ramener à l'étude de la loi du volume d'un simple aléatoire dans une boule. Ce résultat intermédiaire nous permet par la suite d'obtenir une estimée de la queue de distribution de l'aire d'une facette «typique», dans un sens à préciser, du polytope aléatoire.

Le retour exponentiel à l'équilibre des solutions des équations cinétiques inhomogènes en temps long est maintenant assez bien connu grâce à la théorie de l'hypocoercivité.

Numériquement, l'utilisation de schémas en temps long nécessite des techniques particulières, car les discrétisations conduisent souvent à des termes d'erreur qui dépendent de manière exponentielle du temps.

Hamilton-Jacobi PDEs are a central object in optimal control and differential games, enabling the computation of controls in feedback form. High-dimensional HJ PDEs naturally arise in the feedback synthesis for high-dimensional control systems, and their numerical solution must be sought outside the framework provided by standard grid-based discretizations. In this talk, I will discuss two novel computational methods for the approximation of high-dimensional HJ PDEs. In the first part of the talk, I will present a numerical method based on tensor decompositions.

Dans ce travail, on s’intéresse à des configurations optimales de ressources (typiquement des denrées alimentaires) nécessaires à la survie d’une espèce, dans un espace fermé. A cette fin, nous utilisons un modèle dit logistique pour décrire l’évolution de la densité d’individus constituant cette population. Cette équation fait intervenir une fonction représentant la répartition hétérogène (en espace) des ressources.

La question principale traitée dans cet exposé peut se formuler ainsi : 

Dans cet exposé, nous considérons le polytope aléatoire construit comme l'enveloppe convexe d'un ensemble de points indépendants et de même loi uniforme dans un corps convexe $K$ à bord lisse de $\mathbb{R}^d$. Quand la taille du nuage tend vers l'infini, le polytope est une approximation de $K$ et nous nous intéressons à estimer les fluctuations autour de cette forme limite.

Networks are tools used to represent species relationships in microbiology and ecology. Gaussian Graphical Models provide with a mathematical framework for the inference of networks representing conditional dependence relationships, allowing for a clear separation of direct and indirect effects. However observed data are often discrete counts and the inference cannot be directly performed within this framework.

On terminera la preuve de la proposition 11.1 (et donc la preuve du théorème 4). Pour cela, on utilisera la décomposition donnée par le théorème 3, combinée au résultat structurel prouvé lors de la séance précédente (Prop. 11.4). La construction de l'ensemble $V$ recherché se fera alors par une méthode probabiliste.

L'enregistrement vidéo de cette séance est disponible ici.

On poursuivra la preuve de la Proposition 11.1: on avait vu que l'on pouvait supposer que les atomes de $A^n$ étaient majorés et que TC($\mu$) était minorée. On verra dans un premier temps les conséquences de ces hypothèses sur la structure de $\mu$. Ensuite, on verra comment, dans ces conditions, une application du Théorème 3 et d'un argument probabiliste permet de trouver l'ensemble $V$ de la Proposition 11.1.

On cherchera à améliorer une nouvelle fois notre résultat de décomposition: on veut obtenir une partition de $A^n$ telle que les restrictions de $\mu$ aux éléments de cette partition vérifient $T(\kappa n, r)$. On commencera par établir certaines propriétés structurelles sur $\mu$ qui rendent un tel résultat possible.

L'enregistrement vidéo de cette séance est disponible ici.

Grâce aux résultats de la séance précédente, on pourra finaliser la preuve du théorème 3 (Theorem 7.1 dans l'article d'Austin). On pourra aussi discuter d'un nouveau renforcement de notre résultat de décomposition qui consiste à construire une partition de l'espace $A^n$, telle que les restrictions de $\mu$ aux éléments de cette partition vérifient une bonne T-inégalité.