Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Une suite auto-descriptive $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une concaténation infinie de puissances finies d'une lettre (généralement appelées blocs) $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $|w_n| = u_n$ où $|x|$ désigne la longueur du mot fini $x$.

La suite auto-descriptive la plus connue est certainement la suite d'Oldenburger-Kolakoski définie par $u_0 = 1$, $w_{2n} = 1^{u_{2_n}}$ et $w_{2n+1} = 2^{u_{2n+1}}$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.
La suite d'Oldenburger-Kolakoski est un cas particulier de suite auto-descriptive : le bloc $w_n$ est entièrement déterminé par son indice $n$ : sa longueur est égale à $u_n$ et son unique lettre est déterminée par la parité de $n$.

À ce jour, l'existence et la valeur éventuelle des fréquences d'occurrence des lettres dans la suite d'Oldenburger-Kolakosk est toujours ouverte.
Dans cet exposé nous nous intéressons à une famille plus large de suites auto-descriptives où les $w_n$ sont déterminés par leur indice $n$ et par une suite, appelée suite directrice de $u$.
Nous exhibons une suite auto-descriptive et sa suite directrice dont les fréquences d'occurrences sont différentes et explicites.

Travail en collaboration avec : S. Akiyama, M-L Tran Cong, I. Marcovici