Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Dans ce travail en collaboration avec Mikael Falconnet et Nina Gantert, nous définissons des systèmes à une infinité de particules sur des configurations sur $\mathbb{Z}$ (à valeurs dans un alphabet fini) comme la superposition de 2 dynamiques: un processus de substitutions à portée finie sur l'alphabet fini, et un processus de  permutations circulaires à portée non nécessairement finie (appelé “cut-and-paste”).

On considère l'équation d'Helmholtz, qui modélise la propagation d'une onde présentant un comportement périodique en temps. On s'intéresse en particulier au régime "haute fréquence", c'est à dire lorsque la longueur d'onde est petite devant la taille du domaine de propagation. On propose une iscrétisation du problème par méthode d'éléments finis de Lagrange d'ordre (possiblement) élevé. A haute fréquence, le problème considéré n'est pas "coercif", ce qui complique l'analyse de convergence, et contraint fortement le maillage dans la pratique.

In this talk, we present a central limit theorem for the well-known Nadaraya-Watson regression estimator in the context of strongly mixing and weakly dependent random fields in the sense of Rosenblatt (1956) and Wu (2005) respectively. Our main motivation is to provide mild conditions on the mixing coefficients and bandwidth parameters for the estimator to be asymptotically normal. We also present our current research concerning the recursive version of this estimator under the same conditions.

La conjecture de Sarnak dit que tout système dynamique déterministe $(X,T)$ est disjoint (au sens arithmétique) de la fonction de Möbius $\mu$: $$\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n\leq N}f(T^nx)\mu(n)=0$$ pour toute fonction continue $f$ et tout $x\in X$. Les systèmes rigides sont déterministes, mais la rigidité peut être définie soit de façon topologique, soit métrique en utilisant les systèmes dynamiques métriques $(X,\nu,T)$ où $\nu$ parcurt l'ensemble des mesures $T$-invariantes.

In this talk we study high dimensional ergodic diffusion models in nonparametric setting on the basis of discrete data, when the diffusion coefficients are unknown. For this problem, by using efficient sequential point-wise estimators we construct a model selection procedure and then we show sharp oracle inequalities, i.e. the inequalities in which the main term coefficient is closed to one. This means that the proposed sequential model selection procedure is optimal in this sense.