Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Après être longtemps resté cantonnée à la sociologie, l’étude et la modélisation des réseaux par des graphes aléatoires a pris de l’ampleur ces 20 dernières années. J’évoquerai un certain nombre d’enjeux qui restent encore à relever : l’impact de l’échantillonnage, les propriétés spectrales en lien avec les grandes matrices aléatoires, les hypergraphes…

Qu'est-ce qu'une surface aléatoire ? Cette question mathématique naturelle intervient également en physique, dans la théorie de la gravité quantique en dimension 2. Bien sûr la réponse dépend de la loi de probabilité choisie. Nous verrons quelques propriétés des surfaces discrètes aléatoires (connues sous le nom de cartes aléatoires). Le cas planaire (genre 0) est maintenant bien étudié en probabilités avec notamment les travaux de Le Gall, Miermont, Sheffield et Miller sur la carte brownienne. Mais quid du genre plus grand ?

Résumé: Je présenterai deux modèles de graphes aléatoires sur lesquels l’analyse de problèmes mathématiques issus de questions pratiques s’avère particulièrement riche.
Le premier appelé modèle de Bradley-Terry, modélise en particulier des résultats de championnat. Je m’intéresserai à caractériser le comportement du ou des vainqueurs de ce tournoi, en fonctions de caractéristiques du graphe.

Résumé : Les problèmes de contrôle optimal et de jeux différentiels avec un très grand nombre d’agents ont fait l’objet de recherches très actives ces vingt dernières années. Les motivations sont nombreuses, allant de problèmes en macro-économie (modèles d’agents hétérogènes) à des modèles de foule ou de réseau électrique.

Iterative methods for linear systems were invented for the same reasons as they are used today, namely to reduce computational cost. Gauss states in a letter to his friend Gerling in 1823: "you will in the future hardly eliminate directly, at least not when you have more than two unknowns".

The aim of this work is to develop a testing procedure which determines the rank of the noise in a two-dimensional stochastic process from discrete observations of this process on a fixed time interval $[0,T]$ sampled with a fixed time step $\Delta$. First, we construct the main statistics of the test, given by a random matrix determinant, as proposed in Jacod et Podolskij (2013). We show that the performance of the test based on this statistics is limited in a non-asymptotic setting, when $\Delta$ is fixed.

Hawkes processes are a family of stochastic processes for which the occurrence of any event increases the probability of further events occurring. When count data are only observed in discrete time, we propose a spectral approach for the estimation of Hawkes processes, by means of Whittle's estimation method. To get asymptotic properties for the estimator, we prove alpha-mixing properties for the series of counts, using the Galton-Watson properties of the cluster representation of Hawkes processes.