Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Les graphes hyperboliques aléatoires ont été introduits par Krioukov et al. en 2010, dans le but de modéliser des réseaux complexes. Ces graphes sont construits dans le plan hyperbolique à partir d'un processus binomial, en reliant entre eux tous les points du processus, séparés d'une distance plus petite qu'un certain paramètre R. Les auteurs ont montré empiriquement que leur modèle permet par exemple de cartographier le réseau des routeurs internet.

On s'intéresse dans cet exposé au problème elliptique à donnée L1 avec conditions de Neumann. Dans la première partie, on introduira la notion de solutions renormalisées pour le problème, en suite on présentera le schéma V-F ainsi que les outils d'analyse discrète utilisés. On montrera que la solution approchée par un schéma de type volumes finis converge vers l'unique solution renormalisée à médiane nulle.

Let $P(x,A)$ be a transition probability on $(X,\Sigma)$ and let $m$ be a probability on $\Sigma$ invariant for $P$, i.e. $m(A) =\int P(x,A)dm(x)$ for every $A \in \Sigma$. The Markov operator $Pf(x):= \int f(y)P(x,dy)$ is well-defined for $f$ bounded measurable; invariance of $m$ yields that $f=g$ a.e. (m) implies $Pf=Pg$ a.e. and $P$ is an operator on $L_\infty(m)$ and extends to an operator on $L_1(m)$. It is then a contraction in all $L_p(m)$, $1\le p \le \infty$. We assume that $P$ is ergodic modulo $m$, i.e. $Pf=f \in L_2(m)$ implies $f$ is a constant a.e.

Dans cet exposé, nous nous intéressons à des théorèmes centraux limites pour des champs aléatoires stationnaires à valeurs dans un espace de Banach. On montre d'abord un principe d'invariance faible pour les ortho-martigales à valeurs dans un espace de Banach réel séparable qui est 2-smooth ou de cotype 2. Puis à l'aide d'une approximation martingale, nous montrons le Théorème central limite pour des champs stationnaires à valeurs dans un espace $L^1(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

We consider the linear field-road system, a model for fast diffusion channels in population dynamics and ecology. Despite the complex geometry of the problem and the exchange condition, we provide the first explicit expression of its fundamental solution and of the solution to the associated Cauchy problem. The main tool is a Fourier (on the road variable)/Laplace (on time) transform. Furthermore, we estimate the rate of decay of the L^∞ norm of the solution.

Les résonances plasmoniques de particules métalliques sont couramment utilisées aujourd'hui dans les capteurs chimiques et biologiques, avec des applications dans des domaines aussi variés que la surveillance de la pollution, le diagnostic médical, le développement pharmaceutique et la toxicologie. Elles ont aussi des applications à fort potentiel en photonique, pour l'imagerie sous-longueur d'onde. 

Les tumeurs solides présentent généralement de grandes hétérogénéités : plusieurs phénotypes cohabitent dans le meme groupe. Afin de comprendre ce phénomène, nous proposons avec G.Nadin un modèle de population structurée en trait phénotypique, soumise à des perturbations périodiques de l'environnement. Dans le contexte du cancer, ces variations peuvent etre dues en particulier à des traitement chimiques, donnés au patient de façon régulière.