Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Les résonances plasmoniques de particules métalliques sont couramment utilisées aujourd'hui dans les capteurs chimiques et biologiques, avec des applications dans des domaines aussi variés que la surveillance de la pollution, le diagnostic médical, le développement pharmaceutique et la toxicologie. Elles ont aussi des applications à fort potentiel en photonique, pour l'imagerie sous-longueur d'onde. 

Ceci motive de nombreux travaux en mathématiques appliquées, dont l'objectif est la simulation d'ondes électromagnétiques en présence de particules métalliques de formes diverses.  Ce qui est inhabituel est que, aux fréquences d'intérêt, la permittivité diélectrique prend une valeur réelle négative dans la particule. En raison du changement de signe de la permittivité, négative à l'intérieur de la particule et positive à l'extérieur, l'ellipticité habituelle de l'équation est perdue, soulevant des questions mathématiques originales. J'expliquerai comment l'on peut étudier ces problèmes avec changement de signe, et les approcher par éléments finis. 

Si la surface de la particule est régulière, on sait qu'il existe un spectre discret de fréquences dites plasmoniques, pour lesquelles les ondes plasmoniques qui se propagent  à la surface de la particule entrent en résonance. Une des retombées de nos travaux mathématiques est de fournir une règle robuste, indiquant comment mailler la surface de la particule  afin d'éviter les résonances parasites lors de l'utilisation d'éléments finis. 

Nous nous sommes également intéressés au cas où la surface de la particule a des singularités (des coins en 2D par exemple). Dans ce cas, on trouve en plus du spectre discret tout un intervalle de spectre. 
Lorsque la fréquence appartient à cet intervalle, il existe une onde dite de trou noir,  qui se propage vers le coin en ralentissant de plus en plus, de sorte que le coin semble être infiniment loin. Le champ devenant hyper-oscillant au coin, il n'est pas possible de le simuler directement par éléments finis. Le coin jouant le rôle d'un domaine infini virtuel,  nous avons trouvé des solutions en nous inspirant de ce que l'on fait classiquement pour les problèmes de diffraction en domaine non borné. Ainsi par exemple, nous avons montré comment l'utilisation de PML (Perfectly Matched Layers) au coin permet de calculer  les ondes de trou noir.