Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Nous considérons  le problème d'estimation de la matrice d'échelle $\Sigma$ du modèle additif $Y_{p\times n} = M + \mathcal{ E}$, du point de vue de la théorie de la décision. Ici, $p$ représente  le nombre de variables, $n$ le nombre d'observations, $M$ une matrice de paramètres inconnus de rang $q <p$ et  $\mathcal{ E}$  un bruit aléatoire  de distribution à symétrie  elliptique, de matrice de covariance proportionnelle à $I_n \otimes \Sigma$. Ce problème d'estimation est abordé sous une représentation canonique  où la matrice d'observation $Y$ est décomposée en deux matrices, à savoir, $Z_{q\times p}$ qui résume l'information contenue dans $M$ et une matrice $U_{m\times p}$, où $m=n-q$, qui résume  l'information suffisante pour l'estimation de $\Sigma$.

 

Comme les estimateurs naturels de la forme $  {\widehat\Sigma} _a = a \, S $ (où $  S=U^{T}\,U $ et $ a $ est une constante positive) se comportent mal lorsque  $p > m$ ($S$ n'est pas inversible), nous proposons des estimateurs alternatifs de la forme  $ {\widehat{\Sigma}} _ {a, G} = a \big (  S +  S \,  {S ^ {+} G (Z,S)} \big) $ où ${S^{+}} $ est l'inverse de Moore-Penrose de $ S$ (qui coïncide avec l'inverse $S^{-1}$ lorsque $S$ est inversible). Nous fournissons  des conditions sur la matrice de correction $SS^{+} {G (Z,S)} $ telles que $  {\widehat{\Sigma}} _ {a,  {G}} $ améliore  $  {\widehat{\Sigma}} _a $ sous le coût basé sur les données $L _S( \Sigma, \widehat{\Sigma})= \mathrm{tr} \big ( S^{+}\Sigma\,({\widehat{\Sigma}} \,  {\Sigma} ^ {- 1} -  {I}_ {p} )^{2}\big) $. Nous adoptons une approche unifiée des deux cas où $  S $ est inversible  ($p \leq m$) et $  S $ est non inversible ($p > m$).