Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Soit $\theta$ un nombre irrationnel. La translation $T$ de $\theta$ sur le tore $\mathbb T$ muni de la mesure de Haar est ergodique. On s'intéresse à la transformation $[T,Id]$ de $\{0,1\}^{\mathbb N}\times \mathbb T$ dans lui-même définie par $$[T,Id] ((x_n)_{n\ge 0},y) := ((x_{n+1})_{n\ge0},T^{x_0}y.$$ Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est équivalente à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive. Une preuve constructive avait été donnée auparavant par Parry, dans le cas où $\theta$ s'approche extrêmement bien par les nombres rationnels, plus précisément lorsqu'on peut trouver une suite de fractions $p/q$ avec $p$ et $q$ entiers telle que $$4^{q^2} q^4 |\theta-p/q| \longrightarrow 0.$$ En améliorant la méthode de Parry, nous affaiblissons cette condition diophantienne en $$q^4 |\theta-p/q| \longrightarrow 0.$$