Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Résumé : L’objectif de cet exposé est de présenter quelques propriétés des géodésiques dans deux modèles de percolation de premier passage. 
Dans une première partie, on s’intéressa au modèle de percolation de premier passage classique sur $Z^d$. Dans ce modèle, on considère une famille de variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées indexées par l'ensemble des arêtes du graphe $Z^d$, appelées temps de passage. On définit le temps de tout chemin fini comme la somme du temps de passage de chacune des arêtes qu'il emprunte. Les géodésiques sont alors les chemins de temps minimaux. On considère une propriété locale des temps de passage, on appelle cela un motif et on s'intéresse au nombre de translatés de ce motif empruntés par une géodésique. Le résultat principal présenté dans cette partie garantit, sous des hypothèses raisonnables, qu'en dehors d'un événement de probabilité exponentiellement faible, ce nombre est linéaire en la distance entre les extrémités de la géodésique. L'objectif sera de présenter le modèle de percolation de premier passage, d'introduire la notion de motifs et d'illustrer comment ceux-ci peuvent être utilisés pour obtenir certains résultats.
Dans une seconde partie, on s’intéressera aux liens et aux différences entre ces questions dans ce modèle et dans un autre modèle défini à partir d’ensembles d’excursions de champs gaussiens. Cette partie est basée sur un travail en collaboration avec Hermine Biermé.