Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Résumé : L’étude de la probabilité $P_K(n)$ que $n$ points tirés uniformément et indépendamment dans un domaine convexe $K$ d’aire 1 (dans le plan) soient en position convexe, c’est-à-dire forment l’ensemble des sommets d’un polygone convexe, remonte à la fin du 19e siècle et la conjecture de Sylvester pour 4 points, qui fut résolue par Blaschke en 1917. Depuis, des résultats plus généraux se sont succédé lorsque $K$ est un parallélogramme, un triangle, un cercle, ainsi que d’autres résultats asymptotiques.
En particulier, un résultat étonnant dû à Bárány et al. de 1999 donne la probabilité exacte que $n$ points i.i.d. uniformes dans un triangle forment une chaîne convexe entre deux sommets choisis (i.e. la frontière de l’enveloppe convexe des $n$ points avec deux sommets du triangle contient les $n$ points). Dans le premier temps de cette présentation, après avoir introduit cet outil ainsi que des propriétés qui lui sont afférentes, j’essaierai de démontrer comment une quantité substantielle des résultats qui ont émergé autour de $P_K(n)$ peuvent être vus comme une conséquence directe ou indirecte de ce triangle dit "magique".
Dans un second temps, en lien avec ce triangle, je présenterai un résultat d’optimisation de forme en toutes dimensions, analogue à celui de Blaschke, appelé le "problème à base plate".