Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Les semi-groupes de Markov quantiques (SMQ) sont une généralisation naturelle des semi-groupes de Markov classiques sur un espace des fonctions, qui est remplacé dans la théorie quantique par une algèbre d'opérateurs (généralement non commutative). De plus, ils proviennent des limites des systèmes quantiques en interaction avec des environnements externes.

Dans la probabilité quantique, comme dans la probabilité classique, on peut construire un processus de Markov à travers son semi-groupe. Le processus de Markov quantique ainsi construit est appelée extension quantique d'un processus de Markov classique si sa restriction à une sous-algèbre abélienne coincide avec un semi-groupe de Markov classsique. Un certain nombre d'articles ont été consacrés à l'étude du problème de cette extension quantique.

 Dans cet exposé on donne les propriétés fondamentales de processus de Markov classique et quantique qui est engendré par l'opérateur de $q$-Bessel.

Plus précisément, à l'aide de la $q$-théorie, on introduit en premier lieu la notion du processus de $q$-Bessel classique comme étant une chaîne de Markov au temps continu d'espace d'état $\mathbb{R}^+_q = \{q^n, \ n \in \mathbb{Z} \}$ dont le générateur est l'opérateur de $q$-Bessel défini par
$$
\Delta_{q, \alpha}f(x) = \frac{1}{x^2}\left(f(q^{-1}x) - f(x)\right)
+ \frac{q^{2 \alpha}}{x^2}\left(f(q x) - f(x)\right),
$$
pour un paramètre $q$ satisfaisant $0 < q < 1$ et $ \alpha  > -1.$
En second lieu, on représente le générateur infinitésimal de l'opérateur de $q$-Bessel $\Delta_{q, \alpha}$ sous la forme GKSL (Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad). De plus, on construit le semi-groupe minimal associé et on montre que la sous algèbre commutative qui est formée par les opérateurs de multiplication par les fonctions $f \in L_{q, \alpha}^{\infty}$ est invariante, et dans ce cadre on montre que les deux semi-groupes minimaux classique et quantique sont conservatifs (uniques) si et seulement si $\alpha \geq 0.$
Pour classifier ces semi-groupes, on utilise des résultats connus de la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$ et on montre dans les deux cas classique et quantique que ces semi-groupes sont transients pour $ \alpha > 0$ et récurrents pour $\alpha=0.$ En dernier lieu, on montre que le processus de $q$-Bessel classique (respectivement quantique) n'admet pas de mesure invariante (respectivement d'état invariant).