Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

On aborde classiquement l'analyse en moyenne d'algorithmes en s'intéressant à la complexité mesurée en nombre de comparaisons. On a alors des résultats de complexité du type « tel algorithme est en $O(n \log n)$ en moyenne » (par exemple Quicksort pour citer un des plus connus). Ces affirmations se basent sur des hypothèses spécifiques ---que les comparaisons entre les données (ou clés), pour les deux premiers, et les comparaisons entre symboles pour le troisième ont un coût unitaire--- et elles ont le mérite évident de présenter un tableau facile à assimiler de la complexité des algorithmes de tri. Cependant, ces hypothèses simplificatrices sont de fait discutables: elles ne permettent pas de comparer précisément les avantages et inconvénients d'algorithmes reposant sur des principes différents (i.e., ceux qui comparent les clés et ceux qui utilisent une représentation sous forme de suite de symboles) d'une manière qui soit totalement satisfaisante à la fois du point de vue de la théorie de l'information et du point de vue algorithmique. En effet, d'abord le calcul n'est pas vu à son niveau le plus fondamental, c'est-à-dire, par la manipulation de symboles élémentaires tels que le bit, l'octet, le caractère ou le mot-machine. De plus les analyses simplifiées ne sont pas toujours informatives dans beaucoup d'applications (bases de données ou traitement de la langue naturelle), où l'information est de nature hautement « non atomique », au sens qu'elle ne se réduit pas à un seul mot-machine. J'exposerai à l'aide de plusieurs exemples d'algorithmes de tri une méthode qui permet d'analyser en moyenne le nombre de comparaisons de symboles. Les clés à trier sont vues comme des séquences de symboles produit par un modèle de source général. Pour des sources particulières (comme les sources sans mémoire) on accède à une analyse fine (avec le calcul de constantes explicites...) de certains de ces algorithmes de tri. 

En collaboration avec Brigitte Vallée, Thu Hien Nguyen-Thi (et initié avec Philippe Flajolet).