Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Introduite en 1924 par Paul Lévy pour les variables aléatoires réelles, la notion de stabilité fut successivement adaptée en 1979 par Steutel et Van Harn [5] pour les lois discrètes, puis en 2011 par Davydov et al. [2] pour les mesures aléatoires et les processus ponctuels. Si $\alpha\in]0;1]$, une variable aléatoire discrète $X$ dans $\mathbb{N}$ (resp. un processus ponctuel $X$) est ainsi dite discrète $\alpha$-stable si elle vérifie pour tout $t\in[0;1]$ la condition
$$t^{\frac{1}{\alpha}}\circ X^{(1)}+(1-t)^{\frac{1}{\alpha}}\circ X^{(2)}\overset{\text{dist}}{=}X$$
où $X^{(1)}$ et $X^{(2)}$ sont des copies indépendantes de $X$ et $\circ$ l'opération d'amincissement.

Pour le cadre des variables aléatoires discrètes comme celui des processus ponctuels, auxquels nous nous intéressons, une telle distribution peut être représentée comme une somme poissonnienne de variables dites de Sibuya, dépendant d'un même paramètre $\alpha$. On notera qu'une distribution $1$-stable est une distribution de Poisson et, qu'en ce sens, les lois discrètes $\alpha$-stables offrent une généralisation possible des lois de Poisson.

Quoique profuses et remarquables, les propriétés déjà connues sur ces lois de probabilités peinent cependant à dépasser un cadre purement abstrait et dès lors à fournir des arguments pour imposer les distributions discrètes stables comme modèles pertinents de phénomènes aléatoires. Pour tenter de répondre à ce problème, nous introduisons une nouvelle famille de distributions de probabilité, appelées lois de Supersibuya, à partir desquelles nous établissons de nouveaux résultats, permettant en particulier une approche plus intuitive de la stabilité discrète.

Références bibliographiques :

[1] G. Christoph, K. Schreiber, Discrete Stable Random Variables, Statistics & Probability Letters, 1998.

[2] Y. Davydov, I. Molchanov et S. Zuyev, Stability for Random Measures, Point Processes and Discrete Semigroups, Bernoulli, 2011.

[3] L. Decreusefond, A. Vasseur et S. Zuyev, Asymptotics of Discrete Alpha-Stable Point Processes, in preparation.

[4] L. Devroye, A triptych of discrete distributions related to the stable law, Statistics & Probability Letters, 1993.

[5] F.W. Steutel et K. Van Harn, Discrete Analogues of Self-Decomposability and Stability, Ann. Probab. 7 (1979), no. 5, 893-899.

[6] A. Vasseur, Supersibuya distributions, in preparation.