Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

L'ensemble de Mandelbrot est constitué des nombres complexes c pour lesquels la suite des valeurs a l'origine de toutes les itérées successives de P(z) = z^2 + c est bornée. La dynamique associée à cette opération élémentaire est cependant très riche et universelle. Une question centrale est la conjecture de Fatou: est-ce que la dynamique "triviale" est générique ? Plus précisément, il s'agit de déterminer s'il existe un ouvert dense de paramètres c pour lesquels la dynamique est hyperbolique, i.e. converge vers un cycle périodique ou diverge à l'infini. Le bord de l'ensemble de Mandelbrot est cependant très riche car sa dimension est 2  mais son aire (nulle ou pas) n'est pas connue.

 

Notre travail (coll. avec Nicolae Mihalache) est une série d'expériences numériques fines liées à la conjecture de Fatou et nécessitant des calculs numériques intensifs. En effet, si la conjecture de Fatou est fausse, il existe un disque ouvert de paramètres associés à des dynamiques non triviale et il devrait être (idéalement) possible de le capturer numériquement. Notre ambition est de fournir un argument numérique étayant la conjecture de la forme "il n'existe pas de disque pathologique de taille supérieure à 10^{-n}" pour n=4, voire n=5. Cette expérience apporte aussi des éléments de réflexion pour aborder d'autres questions profondes de dynamique complexe.

 

Dans cet exposé, je présenterai quelques idées générales autour de la dynamique et des fractales (ensembles de Mandelbrot et de Julia, conjecture de Fatou) et l'état d'avancement de notre projet. Je développerai certains des aspects techniques de notre analyse numérique (calcul parallèle sur CPU et GPU, calculs en haute précision, gestion d'un volume aberrant de données, algorithmes de preuve automatique et de maitrise systématique des intervalles d'erreurs...) et en quoi nos premiers résultats changent déjà l'état de l'art dans cette direction.