Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Résumé : Considérons une marche aléatoire sur $\mathbf{R}^d$ qui commence à l’origine et se compose de m pas indépendants de longueur 1, où la direction d’un pas est choisie uniformément au hasard. Prenons la distance à l’origine (après $m$ de ces pas) et calculons ses moments pairs. Dans les dimensions $d = 2$ et $d = 4$, comme Borwein, Straub et Vignat l’ont montré en 2015, nous obtenons une suite entière. Il a été démontré que pour $d = 2$, le $n$-ième moment est égal au nombre de carrés abéliens de longueur $2n$ sur un alphabet de $m$ lettres. Par contre, pour $d = 4$ il n’y avait aucune interprétation combinatoire.
L’objectif de cet exposé est de fournir une telle interprétation, à la fois pour $d = 2$ et $d = 4$, en termes de chemins de $n$ pas sur un treillis de dimension $(m − 1)$. L’idée clé est une bijection entre les chemins de Dyck avec un nombre prescrit de pics et des mots d’un certain type. De plus, cette bijection nous permet de dériver des formules exactes pour le nombre de chemins fournis avec certaines statistiques.
Cet exposé est basé sur le travail en cours avec Sergey Kirgizov et Michael Wallner.