Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

L’idée générale des méthodes d’inférence statistique sous contrainte de forme consiste à remplacer les hypothèses (de régularité par exemple) faites sur la fonction cible dans un cadre non-paramétrique classique, par des contraintes sur celles-ci. Ces contraintes comme la monotonie, convexité, apparaissent naturellement dans certains modèles de biologie, d’économie, d’ingénierie etc. ce qui contribue à l’attrait de ces méthodes et explique en partie la riche et grandissante littérature sur le sujet.

L’estimateur le plus populaire pour traiter de questions d’estimation de densité sous contrainte de forme est sans nul doute l’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) qui affiche d’intéressantes propriétés d’adaptation et d’optimalité. Il présente cependant quelques inconvénients ; son existence nécessite dans certains cas la connaissance d’informations additionnelles sur la densité cible qui peuvent être inconnues en pratique. Dans un travail joint avec Yannick Baraud et Guillaume Maillard, nous construisons (en dimension un) un estimateur conservant les propriétés d’optimalité et d’adaptation de l’EMV pour l'estimation de la densité sous contrainte de forme et qui est robuste : il reste stable vis-à-vis d’un léger écart à la situation idéale où les données sont véritablement i.i.d. et leur densité commune satisfait exactement la contrainte requise.

Au cours de cet exposé, je présenterai notre procédure générale d’estimation de densité par rapport à la perte en variation totale puis l’illustrerai dans les cas de contraintes de monotonie et de convexité.