Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Cette présentation traitera des Théorèmes Centraux Limite (TCL) et plus particulièrement de deux techniques de démonstration

employées pour les obtenir : la méthode de Lindeberg, introduite par Jarl Waldemar Lindeberg en 1922 et le principe de

conditionnement, introduit en 1986 par Adam Jakubowski. Nous y discuterons des méthodes ainsi que de certaines applications

concernant les champs aléatoires, les martingales ou encore les processus ARCH et GARCH introduits respectivement par Robert

Engel en 1982 et par Bollerslev en 1986.

 

Étant donné le sujet abordé, cet exposé se subdivisera en deux parties : la première traitant de la méthode de Lindeberg

et la deuxième traitant du principe de Conditionnement. Chacune des parties sera accompagnée d’exemples d’application.

La première méthode, dite de Lindeberg, nous permet de redémontrer le TCL classique (i.e. dans le cadre i.i.d.) sans utiliser

la notion de fonction caractéristique (i.e. la transformée de Fourier de la densité). Ceci permet d’étendre le TCL à des

hypothèses moins restrictives.

 

Le principe de Conditionnement, aussi appelé méthode de Jakubowski, se base sur un théorème énoncé par Adam Jakubowski

en 1986. Bien qu’ayant peu été utilisé après sa parution, ce principe connaît un regain d’intérêt ces dernières années avec la

volonté d’étendre le TCL à des cadres plus généraux.

 

Bien entendu, d’autre méthodes de démonstration telles que la méthode de Stein ou bien l’approximation par accroissements de

martingale existent. Cependant nous n’aborderons pas plus en détails ces méthodes lors de l’exposé. La recherche actuelle dans

ce domaine se concentre sur le développement de TCL dans le cas multi-dimensionnel dépendent (e.g. les ortho-martingales).