Construction d'une extension naturelle pour la transformation $\beta$

Mercredi 10 octobre 2018, 14:00 à 15:00

Salle des séminaires

Younès Tierce

Younès Tierce est un doctorant de Jean-Baptiste Bardet et Thierry de la Rue.

Pour un réel strictement compris entre 1 et 2, on considère l'application $T(x) = \beta x$ mod 1. Cette transformation permet d'obtenir un développement dit "glouton" (ou "greedy") en base $\beta$ d'un réel $x$. Il existe aussi le développement "fainéant" (ou "lazy") d'un réel $x$ en base $\beta$. On présente la construction d'une extension naturelle du système dynamique $([0; \frac{1}{\beta-1} ]; T)$.
On construit une "tour" sur laquelle l'extension préserve la mesure de Lebesgue. On obtient ainsi une expression de la mesure de probabilité invariante et absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (miac).
La généralisation d'une telle construction permet de déterminer la miac du système dynamique aléatoire où l'on tire selon la mesure de Bernoulli $\left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$ entre la transformation "greedy" et la transformation "lazy".