GT-PTESD20220919

Bernoullicité de [T,Id] quand T est une rotation irrationnelle : une preuve constructive

Lundi 19 septembre 2022, 11:00 à 12:00

Salle de séminaire M.0.1.

Christophe Leuridan

(Institut Fourier, Grenoble)

Soit θ un nombre irrationnel. La translation T : y \mapsto (y+\theta)  \mod 1 de [0,1[ (muni de la loi uniforme) dans lui-même est ergodique. On s'intéresse à la transformation [T,\mathrm{Id}] de \{0,1\}^\mathbb{N} \times [0,1[ dans lui-même définie par [T,\mathrm{Id}] \big( (x_n)_{n \ge 0},y \big) := \big( (x_{n+1})_{n \ge 0},T^{x_0}(y)\big). Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est isomorphe à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive. Une preuve constructive avait été donnée auparavant par Parry, dans le cas où \theta s'approche extrêmement bien par les nombres rationnels, plus précisément lorsqu'on peut trouver une suite de fractions p/q avec p et q entiers telle que 4^{q^2}q^4|\theta-p/q| \to 0.

En utilisant une autre approche, nous montrons qu'on peut se passer de cette condition diophantienne. Ce résultat peut être retranscrit sous forme probabiliste comme suit : considérons une marche aléatoire (Y_n)_{n \in \mathbb{Z}} stationnaire sur [0,1[ (qu'on peut identifier au tore \mathbb{R}/\mathbb{Z}), vérifiant la relation de récurrence Y_n = (Y_{n-1}-\xi_n\theta) \!\! \mod 1, avec \xi_n uniforme sur \{0,1\} et indépendante de \mathcal{F}^{\xi,Y}_{n-1} = \sigma((\xi_k,Y_k)_{k \le n-1}). Alors la suite (\eta_n)_{n \in \mathbb{Z}} définie par
\eta_n := (\xi_n + \mathbb{1}_{[\theta,1[}(Y_{n-1})) \mod 2 est une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, qui engendre la même filtration que la suite (Y_n)_{n \in \mathbb{Z}}.