Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Soit $\theta$ un nombre irrationnel. La translation $T : y \mapsto (y+\theta)  \mod 1$ de $[0,1[$ (muni de la loi uniforme) dans lui-même est ergodique. On s'intéresse à la transformation $[T,\mathrm{Id}]$ de $\{0,1\}^\mathbb{N} \times [0,1[$ dans lui-même définie par $$[T,\mathrm{Id}] \big( (x_n)_{n \ge 0},y \big) := \big( (x_{n+1})_{n \ge 0},T^{x_0}(y)\big).$$ Feldman et Rudolph ont montré en 1998 que cette transformation est isomorphe à un décalage de Bernoulli (unilatéral), mais leur preuve n'est pas constructive. Une preuve constructive avait été donnée auparavant par Parry, dans le cas où $\theta$ s'approche extrêmement bien par les nombres rationnels, plus précisément lorsqu'on peut trouver une suite de fractions $p/q$ avec $p$ et $q$ entiers telle que $$ 4^{q^2}q^4|\theta-p/q| \to 0.$$

En utilisant une autre approche, nous montrons qu'on peut se passer de cette condition diophantienne. Ce résultat peut être retranscrit sous forme probabiliste comme suit : considérons une marche aléatoire $(Y_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ stationnaire sur $[0,1[$ (qu'on peut identifier au tore $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$), vérifiant la relation de récurrence $Y_n = (Y_{n-1}-\xi_n\theta) \!\! \mod 1$, avec $\xi_n$ uniforme sur $\{0,1\}$ et indépendante de $\mathcal{F}^{\xi,Y}_{n-1} = \sigma((\xi_k,Y_k)_{k \le n-1})$. Alors la suite $(\eta_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ définie par
$$\eta_n := (\xi_n + \mathbb{1}_{[\theta,1[}(Y_{n-1})) \mod 2$$ est une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, qui engendre la même filtration que la suite $(Y_n)_{n \in \mathbb{Z}}$.