Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

(Travail en collaboration avec Laurent Michel)

 

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique de Langevin sur-amortie $ d X_t = -U(X_t) dt + \sqrt{2h} d B_t $ dans la limite $ h\to 0 $ lorsque $U: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d $ est un champ vectoriel régulier tel que, pour une certaine fonction régulière $V:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, la dynamique est invariante par rapport à $ e^{-\frac Vh} $. 

 

Nous nous intéresserons plus précisément aux propriétés du bas spectre du générateur de la dynamique, c-à-d $ L = -h \Delta + U \cdot \nabla $, et à leurs liens avec le comportement en temps long de la dynamique dans le régime $h\to 0$. 

 

En particulier, lorsque la fonction $V$ est une fonction de Morse admettant $n$ minima locaux, nous montrerons que pour un certain $ \epsilon > 0$, le spectre de $L$ inclus dans la bande $0 \leq \{\mathop{Re}(z) < \epsilon\}$ consiste en $n$ valeurs propres exponentiellement petites. 

 

Enfin, sous des hypothèses génériques sur les barrières de potentiel de la fonction $V$, nous montrerons que ces petites valeurs propres satisfont des formules de type Eyring-Kramers. Cela généralise des résultats antérieurs obtenus par de nombreux auteurs dans le cas réversible, i.e. lorsque $U$ est de la forme $ U=\nabla V $.