Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Étant donné un espace de décalage $G^\mathbb{Z}$, où $G$ est un groupe abélien fini, un automate cellulaire abélien (ACA) est un endomorphisme de $G^\mathbb{Z}$ défini «par blocs». Nous étudions l’action de ces ACA sur les mesures de probabilités sur $G^\mathbb{Z}$.
Lind en 1983 puis d’autres auteurs ont remarqué le phénomène suivant : pour une large classe de mesures initiales, l’itération de certains ACA converge en moyenne vers la mesure uniforme (d’entropie maximale). En particulier il s’agit de la seule mesure invariante de la classe. Ce phénomène, baptisé randomisation, a ensuite été étendu à des classes de mesures soumises à des hypothèses de mélange faible et de larges familles d’ACA, mais en se cantonnant au cas $G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Dans cet exposé, nous fournissons d’abord une caractérisation des ACA randomisants sur tout groupe abélien via des outils combinatoires et d’analyse de Fourier. Ensuite, nous exhibons des exemples où la randomisation s’effectue non pas en moyenne mais en convergence directe, ce qui était impossible dans le cas $G^\mathbb{Z}$. Si le temps le permet, je montrerai que la randomisation apparaît également sous l’action du décalage dans des sous-décalages multidimensionnels.
Notre approche repose fondamentalement sur la structure de groupe des automates considérés, mais j’expliquerai pourquoi des arguments empiriques nous amènent à penser que ce phénomène est lié à des propriétés dynamiques (expansivité,...).