Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Résumé : Un certain type de processus de Markov en dents de scie, appelé processus "shot noise" extrémal (ESN), est étudié. Ce processus généralise les processus extrémaux en y incorporant un mécanisme de dérive. Après avoir introduit ces processus et énoncé certaines propriétés fondamentales de leur semi-groupe et de leur générateur infinitésimal, je caractériserai leurs temps de premier passage en dessous d’un niveau donné, ainsi que leur temps local en 0 lorsque la frontière 0 est accessible. Un intérêt principal de ces processus réside dans le fait que leur ensemble des zéros coïncide avec les ensembles de découpages aléatoires de Mandelbrot — des ensembles obtenus en plaçant des intervalles de recouvrement aléatoires de Poisson sur la demi-droite positive. À partir de cette connexion, une nouvelle démonstration du théorème de Fitzsimmons–Fristedt–Shepp, qui caractérise les ensembles de découpages aléatoires, est présentée. Enfin, j’expliquerai comment certains ESN apparaissent dans des théorèmes limites fonctionnels pour des processus de branchement à état continu avec une immigration importante. Un résultat de Iksanov et Kabluchko concernant les processus de Bienaymé–Galton–Watson avec immigration est établi dans le cadre de processus en temps et espace continus en suivant des arguments différents. D’autres régimes avec une immigration très élevée sont également identifiés.
Les résultats de cet exposé sont tirés de deux travaux en collaboration avec Linglong Yuan (Université de Liverpool).