Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - Université de Rouen Normandie

Soit $p$ un nombre premier et soit $\mathbb{F}_p$ le corps de cardinal $p$.
Un automate cellulaire  $\Phi:\mathbb{F}_{p}^{\mathbb Z}\rightarrow\mathbb{F}_{p}^{\mathbb Z}$ est une application qui commute avec le  décalage $\sigma:\mathbb{F}_{p}^{\mathbb Z}\rightarrow
\mathbb{F}_{p}^{\mathbb Z}$. L'automate cellulaire  $\Phi$ est linéaire s'il est $\mathbb{F}_{p}$-linéaire.  Un diagramme espace-temps  pour $\Phi$ est une configuration $U\in \mathbb{F}_p^{\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}}$  tel que la  $n+1$-ième ligne est l'image par $\Phi$, de la $n$-ième
ligne.
Soit  $X_U$ le fermé $\overline{\{\sigma_1^j\sigma_2^k(U) : j,k\in {\mathbb Z}\}}$, avec $\sigma_1$ et $\sigma_2$ les décalages horizontaux et verticaux. Une mesure $\mu$
invariante sous l'action de  $\sigma_1$ et de $\sigma_2$, et dont  $X_U$ est le support, définit une mesure $\lambda$ sur $\mathbb{F}_p^{\mathbb Z}$ qui est invariante sous l'action de $\sigma$ et de $\Phi$.
 
La mesure de Haar est un exemple d'une mesure $(\sigma,\Phi)$-invariante, ainsi que quelques mesures dont le support est fini. Il y a aussi une famille de mesures $(\sigma,\Phi)$-invariantes, obtenue par une construction définie par Kitchens-Schmidt et élaborée par Einsiedler.

Nous étudions la nature des diagrammes espace-temps avec des conditions initiales $p$-automatiques, c'est-à-dire des codages des points fixes d'une substitution de longueur constante $p$.
Nous montrons que ces diagrammes sont eux-mêmes de nature automatique. Ce résultat nous donne une méthode pour trouver, et calculer, des mesures $(\sigma,\Phi)$-invariantes, qui sont d'une nature substitutionelle. Nous montrons que pour chaque automate linéaire $\Phi$ et pour presque tout $p$,  il existe des mesures $(\sigma,\Phi)$-invariantes et  non triviales pour $\Phi:\mathbb{F}_p^{\mathbb Z} \rightarrow \mathbb{F}_p^{\mathbb Z}$.
Nous comparons notre méthode à celle de Kitchens-Schmidt et Einsiedler. Ceci est un travail en commun avec Eric Rowland.