Équipe Probabilités et systèmes dynamiques

Thèmes de recherche

La recherche de l'équipe Probabilités et systèmes dynamiques du LMRS porte essentiellement sur les thèmes suivants.

Mécanique statistique et modèles spatiaux aléatoires

Sous la dénomination de modèles spatiaux aléatoires, on entend tout processus aléatoire construit sur une grille (réseau), un graphe ou un espace continu. La recherche est organisée autour de deux axes :

  • L'étude statique de configurations spatiales aléatoires dans un espace euclidien relève de la géométrie stochastique. On s'intéresse plus particulièrement aux processus ponctuels qui interviennent dans de nombreux domaines tels que les files d'attente, les réseaux, la physique des matériaux ou la géologie, et qui servent à décrire des répartitions aléatoires de points dans le temps ou dans l'espace. Parmi les modèles engendrés par des processus ponctuels et étudiés au LMRS, citons notamment les mosaïques aléatoires (d'hyperplans, de Voronoi, etc), les polytopes aléatoires et le modèle Booléen ou de percolation continue.
  • Les systèmes à une infinité de particules en interaction sont des processus de Markov. Ils décrivent l'évolution de particules soumises à une interaction forte (le taux de saut infinitésimal est une fonction locale, c'est-à-dire une fonction de l'état des particules à proximité de la particule concernée par le changement d'état). Ils permettent de déduire du comportement individuel des particules, tel qu'il est décrit par le taux de saut infinitésimal, des comportements collectifs pour l'ensemble des particules. Les modèles viennent souvent de la physique, ou de la biologie ; on les étudie à l'équilibre ou hors équilibre. Les principaux thèmes abordés au sein du laboratoire sont issus de la mécanique statistique : métastabilité, limites hydrodynamiques et grandes déviations.

Systèmes dynamiques et théorèmes limites

Les systèmes dynamiques étudiés au LMRS sont de plusieurs natures. Ce sont essentiellement des systèmes dynamiques mesurés (action d'un groupe de transformations préservant une mesure de probabilité, ou une mesure sigma-finie), mais aussi des systèmes dynamiques topologiques (action d'un groupe de fonctions continues sur un espace métrique compact), et des systèmes dynamiques holomorphes. L'étude des systèmes dynamiques mesurés est généralement désignée sous le nom de théorie ergodique. Les recherches de l'équipe dans ce domaine concernent la théorie spectrale des systèmes dynamiques mesurés, l'étude de leurs couplages et de leurs facteurs. Ces recherches sont souvent effectuées en interaction avec d'autres branches des mathématiques : l'analyse harmonique, l'analyse complexe et la théorie des nombres. Parmi les liens naturels entre ces domanines et la théorie ergodique, citons le problème spectral de Banach qui consiste à rechercher des systèmes dynamiques mesurés à spectre simple de Lebesgue, qui se traduit dans la classe des systèmes de rang un par la recherche de polynômes plats, ou à résoudre le problème célèbre de Mahler. Également en lien avec la théorie des nombres, mentionnons la conjecture de Sarnak sur l'orthogonalité de la fonction de Möbius avec les suites produites par les systèmes d'entropie nulle.

De nombreuses thématiques de recherche de l'équipe se situent à l'interface entre les systèmes dynamiques et la théorie des probabilités. Nous pouvons citer en particulier l'étude de systèmes dynamiques d'origine probabiliste (suspension de Poisson, systèmes gaussiens), la classification des filtrations (théorie des filtrations standard de Vershik), l'étude de la vitesse de convergence à l'équilibre pour des processus de Markov, ainsi que les recherches sur les théorèmes limites en probabilités auxquelles se consacrent plusieurs membres du LMRS. Ces recherchent concernent principalement le théorème limite central et le principe d'invariance pour les suites et les champs strictement stationnaires de variables aléatoires dépendantes. Ces deux résultats sont d'une grande importance, et trouvent des applications dans plusieurs autres domaines. Par exemple, en statistique spatiale, où les techniques développées pour les champs aléatoires dépendants s'appliquent à l'étude de la normalité asymptotique de l'estimateur à noyau de la densité introduit par Rosenblatt (1956) et Parzen (1962). Également en mécanique statistique, où les versions dites «quenched» du théorème limite central étudiées par certains membres de l'équipe ont des applications en systèmes de particules. Il s'agit aussi d'utiliser et/ou de développer de nouvelles techniques d'approximations de suites et de champs aléatoires par des martingales ou des orthomartingales au sens de Cairoli (1969) pour obtenir de nouveaux théorèmes limites, des inégalités de moments ou de grandes déviations, ou encore pour étudier la vitesse de convergence dans le théorème limite central. Enfin, de nouveaux résultats sur le principe d'invariance dans les espaces de Hölder sont motivés par les problèmes de détection de rupture dans certaines séries temporelles.

Analyse stochastique et systèmes dynamiques en temps continu

Plusieurs thèmes sont étudiés :

  • L'équation des milieux poreux intéresse depuis longtemps les spécialistes d'équations aux dérivées partielles. L'ajout d'un terme stochastique (type «bruit blanc») conduit à des complications hautement non-triviales : poser rigoureusement le problème n'est possible que grâce à la théorie des «triplets de Gelfand». Outre des estimations très explicites, la théorie générale des multifonctions mesurables (ou ensembles aléatoires) intervient, dans l'esprit des travaux de Crauel et Flandoli.
  • Les processus de Bernstein sont des diffusions browniennes possédant une propriété de réversibilité ; elles ont été définies par Zambrini à propos de problèmes de mécanique quantique, et leur théorie est intimement reliée à celle de l'équation de la chaleur avec terme potentiel. Récemment des applications en mathématiques financières sont apparues, notamment aux modèles affines et aux modèles de type Black-Scholes.
  • Les perturbations stochastiques de systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires. Beaucoup de systèmes complexes issus par exemple des sciences du vivant (neurones, réseau de neurones, systèmes proie-prédateur) peuvent être modélisés par des équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles perturbées par un bruit aléatoire qui peut être inhérent au modèle ou bien provenir de facteurs extérieurs ou des incertitudes du modèle. Nous étudions l'influence de cette perturbation stochastique sur les propriétés qualitatives du système (stabilité, bifurcations...).
  • Les processus stochastiques presque périodiques. Les fonctions presque périodiques (déterministes) possèdent des propriétés de régularité très riches et intéressantes dans l'étude des systèmes dynamiques : continuité uniforme, ergodicité, compacité de l'ensemble des translatées des trajectoires... d'où les nombreux travaux portant sur leur caractérisation et sur les équations différentielles déterministes ayant des solutions presque périodiques. L'étude des processus stochastiques presque périodiques est plus récente et complexe, chaque notion connue de presque périodicité donnant lieu à plusieurs notions dans le cas stochastique. Néanmoins les propriétés de régularité évoquées plus haut ont des équivalents dans le cas stochastique. Nous nous intéressons à la classification de ces processus ainsi qu'à l'existence de solutions presque périodiques d'équations différentielles stochastiques.
  • Le problème de la rafle stochastique et plus généralement les inclusions différentielles stochastiques ou déterministes. Le processus de rafle (sweeping process) a été inventé dans les années 1970 par Jean-Jacques Moreau pour résoudre des problèmes de plasticité. Il s'agit d'une inclusion différentielle dans laquelle la solution est contrainte à rester à l'intérieur d'un ensemble mobile convexe (plus généralement «admissible») par un processus correcteur qui n'agit que lorsque la solution est en contact avec le bord de l'ensemble. Cette situation apparaît par exemple dans des problèmes d'élastoplastie ou d'électricité, plus récemment, avec une perturbation stochastique, dans la modélisation de mouvements de foules. Dans le cas «perturbé», ce problème est équivalent au problème de réflexion de Skorokhod avec bord réfléchissant mobile. Nous nous intéressons à l'existence et l'unicité et aux propriétés de la solution dans le cas stochastiquement perturbé.

  • Les mesures de Young ont été inventées plusieurs fois sous des noms différents (contrôles relaxés, variables aléatoires floues, règles, etc). Elles remontent à L.C. Young (1937) et sont utilisées en calcul des variations, homogénéisation, contrôle optimal, théorie des probabilités, économie mathématique et d'autres domaines. Nous nous intéressons en particulier à leur application dans la construction de solutions faibles d'équations stochastiques.

Éléments de topologie et algèbre

La recherche en topologie porte sur

  • L'analyse sur les groupes et les semi-groupes semi-topologiques, les propriétés topologiques des algèbres de fonctions faiblement presque périodiques et des compactifications correspondantes, et l'influence de ces propriétés sur les structures algébrico-topologiques des (semi-)groupes concernés.
  • L'étude des points de continuité des fonctions séparément continues : comment trouver et localiser les points de continuité des opérations dans les groupes et semi-groupes semi-topologiques.
  • L'étude des fonctions fragmentables définies sur des espaces non nécessairement métrisables, de leur relation avec les fonctions de première classe de Baire, et des modes de convergence qui conservent la nature de ces fonctions.

La recherche en algèbre concerne la théorie des semi-anneaux, longtemps considérée à tort comme assez marginale, mais qui a connu un regain d'intérêt suite aux travaux de Connes et Consani depuis 2007. Une éventuelle géométrie algébrique sur de tels objets de caractéristique 1 pourrait en effet permettre d'aborder la démonstration de l'Hypothèse de Riemann. On étudie les propriétés des idéaux premiers et des idéaux maximaux d'un semi-anneau de caractéristique 1. On poursuit également des recherches sur le degré de commutativité d'un groupe fini.

 

Groupes de travail

Un groupe de travail en probabilités, théorie ergodique et systèmes dynamiques se réunit le lundi de 11h00 à 12h00. Voir le programme.

 

Membres de l'équipe

Permanents

CR=Chargé de Recherche CNRS, DR=Directeur de Recherche CNRS, MCF=Maître de Conférence, PRAG=Professeur Agrégé d'Université, PU=Professeur·e d'Université.

Doctorantes et doctorants

Les directeurs et directrices de thèse sont mentionnés entre parenthèses.

  • CHAUDRON Audrey (Pierre CALKA)
  • D'ERRICO Cecilia (inscrite à l'Université Paris Saclay, co-direction Pierre CALKA et Nathanaël ENRIQUEZ)
  • OUKNINE Anas (Paul LESCOT)
  • POUTREL Maxence (co-direction Irène MARCOVICI et Jérôme CASSE)
  • PRÉVOST Nicolas (Mustapha MOURRAGUI)

Projets en cours

  • Projet ANR GrHyDy (Graphes Hyperboliques Dynamiques), 2021-2025
  • RT MAIAGES (MAthématiques de l’Imagerie, Apprentissage et GEométrie Stochastique)
  • GdR TRAG (TRAjectoires ruGueuses)
  • GdR IFM (Informatique Fondamentale et ses Mathématiques) : GT ALEA et SDA2