Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - University of Rouen Normandy

Nous étudions ici la percolation dynamique sur les pavages par losanges, c'est à dire les processus de contamination sur des pavages par losanges depuis une configuration initiale tirée aléatoirement.

Étant donné un pavage par losange, par exemple un pavage apériodique de Penrose, on met un état $0$ ou $1$ sur chaque tuile. Sur ces configurations on fait tourner l'automate cellulaire de percolation Bootstrap : l'état $1$ est stable et une tuile dans l'état $0$ devient $1$ si elle a au moins deux voisins à $1$.
On dit qu'une configuration percole lorsque la configuration limite est $1$-uniforme, c'est à dire lorsque toutes les tuiles deviennent contaminées lorsque l'on fait tourner la percolation Boostrap.

On prouve que pour toute mesure de Bernoulli (non triviale) on a $\mu(I)=1$ où $I$ est l'ensemble d'invasion, c'est à dire l'ensemble des configurations qui percolent. En d'autres mot, pour tout $p>0$, si on tire une configuration initiale $c$ au hasard sur un pavage par losanges d'après un Bernoulli de paramètre $p$, la probabilité que $c$ percole est $1$.