Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - University of Rouen Normandy

Un nombre indéterminé de séances du groupe de travail sera cette année consacré à la présentation par Séverin Benzoni d'un travail récent de Tim Austin (voir l'article sur arXiv ou une présentation plus «grand public» dans Quanta Magazine).

En 2018, Tim Austin a prouvé que tout système dynamique ergodique $(X, \mu, T)$ vérifie la propriété de Pinsker faible: pour tout $\varepsilon > 0$, $(X, \mu, T)$ est isomorphe au produit direct d'un schéma de Bernoulli et d'un système d'entropie inférieure à $\varepsilon$. Le but de ce groupe de travail sera de comprendre ce résultat et d'en présenter la preuve.

La preuve repose sur un résultat de concentration de la mesure en probabilités discrètes, et dont les applications s'étendent au-delà de la théorie ergodique, notamment pour l'étude des mesures de probabilité en grandes dimensions. Il s'agit de décomposer une mesure définie sur un espace produit $A^n$ en une somme de mesures dont la masse est concentrée sur une petite partie de l'espace. On verra alors comment des outils de théorie de l'information (corrélation totale, KL-divergence...) permettent d'obtenir un contrôle quantitatif de la complexité d'une telle décomposition. Les premières séances seront dédiées à l'étude de ces notions.

Ensuite, on verra comment ce résultat peut être appliqué en théorie ergodique, pour prouver le théorème d'Austin. Cela s'appuie sur les liens très forts entre la concentration de la mesure et les mesures produits, ainsi que sur un résultat, dû à Jean-Paul Thouvenot, permettant de caractériser les systèmes dynamiques se décomposant en produit direct de deux facteurs, dont l'un est un schéma de Bernoulli.