Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - University of Rouen Normandy

Ce séminaire portera sur deux versions quantitatives de l'inégalité isopérimétrique classique dans le plan. Nous étudierons d'abord la minimisation du rapport $\delta(\Omega)/\lambda^2(\Omega)$, où $\delta(\Omega)$ est le déficit isopérimétrique et $\lambda(\Omega)$ est l'asymétrie de Fraenkel. Cette dernière quantité est définie par le minimum, fait sur toutes les boules d'aire égale à celle de $\Omega$, de l'aire de la différence symétrique entre $\Omega$ et une telle boule. Nous montrerons l'existence d'un ensemble optimal. 

 

Dans un deuxième temps, nous remplacerons l'asymétrie de Fraenkel par l'asymétrie barycentrique $\lambda_G(\Omega)$, qui est l'aire de la différence symétrique  entre un ensemble $\Omega$ et la boule de même aire centrée en le centre de gravité de $\Omega$. Dans ce cas nous montrerons l'existence d'un ensemble optimal parmi les ensembles convexes.  

 

Les travaux exposés sont en collaboration avec Chiara Bianchini, Antoine Henrot et Antoine Lemenant.