Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - University of Rouen Normandy

Dans cet exposé, nous étudions la dynamique asymptotique d'un problème d'évolution donné par un réseau complexe de systèmes de réaction-diffusion. A partir d'hypothèses portant sur la dynamique interne à chaque noeud composant le réseau complexe, ainsi que sur la topologie du réseau, nous analysons le comportement des solutions de ce problème. Nous démontrons l'existence de régions positivement invariantes, qui garantissent à la fois la positivité des solutions et leur caractère global en temps. Puis, nous établissons des estimations d'énergie, qui révèlent la nature dissipative du système considéré, et qui permettent d'étudier le comportement asymptotique des solutions. Le système dynamique engendré par le réseau possède l'attracteur global, ainsi qu'une famille
d'attracteurs exponentiels. Nous présentons quelques applications, avec l'étude de réseaux de systèmes épidémiologiques, mais aussi de systèmes issus de la modélisation des comportements humains en situation de catastrophe. Enfin, nous proposons un problème de contrôle optimal pour les réseaux ne présentant pas les conditions souhaitées de synchronisation.