Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - University of Rouen Normandy

Dans cet exposé, nous considérons le polytope aléatoire construit comme l'enveloppe convexe d'un ensemble de points indépendants et de même loi uniforme dans un corps convexe $K$ à bord lisse de $\mathbb{R}^d$. Quand la taille du nuage tend vers l'infini, le polytope est une approximation de $K$ et nous nous intéressons à estimer les fluctuations autour de cette forme limite.

Cette question nous conduit à étudier les lois de plusieurs fonctionnelles dont la distance à la frontière de $K$ et l'aire d'une facette dite typique du polytope aléatoire. Nos principaux résultats sont des convergences de type valeurs extrêmes pour l'aire maximale d'une facette et pour la distance de Hausdorff entre le polytope aléatoire et $K$ lorsque $K$ est une boule. Par suite, nous en déduisons des estimées pour les fluctuations radiales et longitudinales de la frontière du polytope aléatoire. De manière assez surprenante, les exposants qui apparaissent dans les deux taux sont les mêmes que ceux observés pour une classe de modèles d'interfaces aléatoires dite «baby KPZ universality class».

Nous expliquerons comment obtenir ces résultats de valeurs extrêmes en nous concentrant en particulier sur le cas de l'aire des facettes. Nous verrons que la démonstration repose notamment sur un problème intermédiaire simple qui concerne la loi du volume d'un simplexe aléatoire dans une boule.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. E. Yukich.

Les notes écrites par l'orateur lors de cette séance sont disponibles ici.