Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem

UMR 6085 CNRS - University of Rouen Normandy

Une marche persistante est une marche aléatoire dont les incréments ne sont pas i.i.d. comme dans le cas classique, mais dirigés par une chaîne de Markov de mémoire de longueur variable (VLMC). Cette chaîne interne est construite à partir d'un arbre de contextes probabilisé. Cette classe de processus contient les marches renforcées directionnellement (DRRW) introduites par R. D. Mauldin, M. Monticino et H. von Weizsäcker en 1996.

On s'intéressera à la récurrence ou la transience de telles marches et on discutera d'une conjecture de R. D. Mauldin et al., portant sur la récurrence ou transience simultanée des marches aléatoires renforcées directionnellement sur $\mathbf{Z}^d$, $d\geq 2$, et de leurs squelettes. Plus précisément, le squelette d'une DRRW $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ est le processus $(S_{B_n})_{n\in \mathbf{N}}$ avec
\[B_0=0\qquad \mbox{et} \qquad B_n=\inf \left\{k>B_{n-1}:\,X_{n-1}\neq X_n=X_0\right\},\, n\geq 1\]
dont les incréments sont i.i.d.. Après avoir exhibé un exemple de marche persistante sur $\mathbf{Z}$, pour lequel $(S_n)_{n\in \mathbf{N}}$ est récurrent mais $(S_{B_n})_{n\in \mathbf{N}}$ est transient,  Mauldin et al. ont conjecturé il y a 22 ans qu'en dimension plus grande, la récurrence de $(S_n)_{n\in \mathbf{N}}$ est équivalente à celle de $(S_{B_n})_{n\in \mathbf{N}}$.

Cet exposé est basé sur un travail commun avec P. Cénac, B. de Loynes et Y. Offret.