Introduction à la théorie ergodique

Auteur: Thierry de la Rue

E-mail: thierry.de-la-rue at univ-rouen.fr

Système dynamique

De nombreuses recherches mathématiques concernent le comportement à long terme d'un système qui évolue dans le temps, appelé système dynamique.
Cette évolution est couramment modélisée par une transformation T de l'ensemble de tous les états possibles du système : si à un instant donné le système est dans l'état x, alors T(x) représente l'état du système à l'instant suivant.

La théorie ergodique s'intéresse plus particulièrement au cas où l'espace d'états est muni d'une loi de probabilité P invariante par T : si A est une partie de l'espace d'états, P(A) s'interprète comme la probabilité qu'à un instant donné, l'état du système soit dans A. Dire que la probabilité P est invariante par T signifie que cette probabilité ne dépend pas de l'instant considéré.

Exemple 1 : rotations du cercle

Exemple 2 : la transformation du boulanger

Le mélange

Les processus en théorie ergodique

Moyenne temporelle, moyenne spatiale

Observer le passé pour prédire l'avenir