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THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ DE ROUEN

soutenue le 10 janvier 1997

sous la direction de C.P. Robert, Professeur à l'Université de Rouen

avec la mention très honorable

 
 
Discipline  :  Mathématiques 
Spécialité  :  Statistique 
 
 
Contribution à la théorie des lois de
référence et aux méthodes de Monte Carlo
 
 

Composition du Jury  :
Président  : C. Dellacherie Directeur de Recherche CNRS, Université de Rouen 
Rapporteurs  : G. Casella Professeur, Cornell University, USA 
J. Diebolt Directeur de Recherche CNRS, Université Grenoble 
Directeur de Thèse : C.P. Robert Professeur, Université de Rouen 
Examinateurs  : D. Fourdrinier Professeur, Université de Rouen 
M.-A. Gruet  Chargée de Recherche INRA, 
 


Résumé

Cette thèse est composée de deux parties distinctes : la première relève de la statistique bayésienne et la seconde des méthodes de Monte Carlo.

Nous étudions, dans la première partie, l'apport des lois non informatives de référence. Nous obtenons, via ces lois et les régions de confiance bayésiennes, une solution au classique problème de Fieller-Creasy posé par le modèle de calibration.
Un deuxième problème est l'estimation de fonctions quadratiques d'une moyenne normale. Il conduit à de surprenantes complications dans les inférences bayésiennes et fréquentistes.  Nous évaluons les propriétés de ces lois et plus particulièrement leurs propriétés de couverture pour ce modèle.

La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'estimation des intégrales par les méthodes de Monte Carlo. Nous introduisons un estimateur de Monte Carlo basé sur les propriétés des sommes de Riemann. Nous montrons que cet estimateur possède des propriétés de convergence supérieures aux approches classiques.
Nous montrons que la méthode d'échantillonnage pondéré se généralise à  notre estimateur et produit un estimateur optimal en terme de réduction de la variance.
Nous généralisons notre estimateur aux méthodes de Monte Carlo par chaines de Markov. De plus, nous établissons un critère de contrôole de convergence des chaînes de Markov issues des algorithmes de Monte Carlo par chaînes de Markov. L'étape de simulation des variables aléatoires, qui apparait dans les méthodes de Monte Carlo, est abordée dans notre étude des lois gamma tronquées. Nous déterminons des algorithmes
d'acceptation-rejet dominant les approches classiques. Nous avons illustré les différents résultats obtenus par de nombreuses simulations.

Mots clés : Estimateur de Riemann; lois gamma tronquées; loi non informative de  référence;  méthodes d'intégration de Monte Carlo; modèle de calibration; paramètre de non centralité; statistique bayésienne; statistique d'ordre.
 
 


Abstract : 
Two distinct sections constitute this thesis : the first section deals
with the Bayesian inference and the second section with the Monte Carlo method.

In the first section, we study the properties of the reference prior. For the calibration model, we show that these priors give a solution to  the Fieller-Creasy problem. The estimation of the quadratic functions of a multivariate normal mean is an inferential problem which give rise to complications both from frequentist and Bayesian points of view. We study the properties of the reference priors and more particularly the coverage properties.

The Monte Carlo methods produce different estimators to approximate integrals. We propose and study a new estimator based on the Riemann sums. We prove that this estimator improve upon the standard estimators in terms of rate of convergence.
Moreover, by using the importance sampling method, we obtain an estimator which is optimal in terms of convergence rate of the variance. This estimator can be generalized to the Monte Carlo by Markov chain method. Moreover, we establish a new criterion to control the convergence of the Markov chain Monte Carlo algorithm. Many simulations illustrate the different properties given in this thesis

Keywords: Bayesian statistic; calibration model; Monte Carlo integration; non centrality parameter; order statistic; reference prior; Riemann estimator; truncated Gamma   distribution.