ATTAOUI Abdelatif

Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
BP12, Avenue de l'Université
76801 Saint étienne du Rouvray

Tél : (33)[0]2 32 95 52 54
Fax : (33)[0]2 32 95 52 86
Adresse électronique :
Abdelatif.Attaoui@etu.univ-rouen.fr


THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ DE ROUEN

soutenue le 06 Avril 2007

sous la direction de D. BLANCHARD, Professeur à l'Université de Rouen

avec la mention trés honorable

 

 

Discipline

:  Mathématiques Appliquées

Spécialité

:  Analyse Numérique

 

 

Existence de solutions faibles et faible-renormalisées

  pour des systèmes non linéaires de Boussinesq


Composition du Jury  :

 

Président

:

D. Cioranescu

Directeur de recherche CNRS, Paris VI

Rapporteurs

:

D. Cioranescu

Directeur de recherche CNRS, Paris VI

 

 

E. Fernandez-Cara

Professeur, Université de Sevilla

Examinateurs

:

L. Glangetas

Professeur, Université de Rouen

 

 

A. Miranville

Professeur, Université de Poitiers

 

 

C.-J Xu

Professeur Université de Rouen

Directeur de Thèse

:

D. Blanchard

Professeur Université de Rouen


RésuméLa  thèse est consacrée essentiellement à l'étude de systèmes non linéaires d'évolution issus d'un modèle de Boussinesq : couplage entre les équations de Navier-stokes avec un second membre $F(\theta)$, o\`u  $F$ est une force de gravité proportionnelle à des variations de densité qui dépendent de la température et l'équation de l'énergie.\\ Le premier chapitre nous donne un résultat d'existence d'une solution faible-renormalisée du système de Boussinesq en dimension $2$, dans le cas o\`u $F$ est bornée dans $L^\infty$.\\ Dans le chapitre $2$, on aborde le cas de fonctions $F$ plus générales :  $F$ vérifie une hypothèse de croissance. On démontre l'existence de solutions pour toutes données initiales ou pour des données initiales petites selon la croissance de $F$.\\ Dans le chapitre $3$, nous faisons une généralisation des résultats du chapitre $2$ mais sans le terme de convection.\\ Dans le chapitre $4$, le manque de stabilité de l'énergie de dissipation dans $L^1(Q)$ en  dimension $3$, nous contraint à transformer de façon formelle le système de Boussinesq. On démontre l'existence d'une solution faible de ce nouveau système en dimension $3$.
Mots clés
: équations aux dérivées partielles, systèmes non linéaires d'évolution, modèle de Boussinesq, équations de Navier-stokes, équation de l'énergie, résultats d'existence, solutions renormalisées.


Abstract The thesis is essentially devoted  to prove existence results for some nonlinear partial differential systems of the Boussinesq kind : a Navier-Stokes like motion equation for the velocity and the pressure coupled to an energy conservation equation.\\ The first chapter gives us a result of existence of a weak-renormalized solution of the Boussinesq system in dimension $2$, in the case where $F$ is bounded in $L^\infty$.\\ In the chapter $2$, we treat the case of more general functions $F$ : $F$ satisfies a growth assumption. We show the existence of solutions for all given initial or for small initial data according to the growth of $F$.\\ In the chapter $3$, we make a generalization of results of the chapter $2$ but without the term of convection.\\ In the chapter $4$, the dissipation energy is not stable in $L^1(Q)$ ($N=3$), which constrained us to perform a formal transformation on the Boussinesq system. We show the existence of a weak solution of this new system in dimension $3$.
Keywords : partial differential equations, nonlinear systems, Boussinesq model, Navier-Stokes equations, energy equation, existence results, weak-renormalized solutions.